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L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !



  1. #1
    pmdec

    L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !


    ------

    Pourquoi vouloir "intercaler" quelque chose entre les nombres fractionnaires ? A quoi servent les réels ? Quels rapport ont-ils avec la réalité ?

    Le temps est, je crois (~10^-12 ?), la grandeur mesurée avec la plus grande précision. Donc 14 chiffres au maximum (dont 2 pour "avoir de la marge" !), le tout multiplié ou divisé par une puissance de dix, suffisent à écrire toutes les mesures physiques vraiment réelles. Point n'est donc besoin d'utiliser un autre ensemble que celui des rationnels ! De toute façon, c'est ainsi que procèdent les calculs "informatiques" (le calcul est toujours fait, à un moment ou un autre, sur des nombres entiers).

    Racine de 2 = (pas "~" !) 14 142 135 623 731/10 000 000 000 000
    Pi = (pas "~" !) 31 415 926 535 898/10 000 000 000 000
    (...)

    Un problème de continuité ? Mais qu'y a-t-il de continu dans l'univers ?
    Un problème de tangente ? Pas du tout, c'est l'ensemble de points alignés (une "droite") qui a les deux points successifs "qui vont bien" en commun avec la "courbe" (en plus, l'assemblage est deux fois plus solide !) Et ainsi de suite pour les autres "dérivées"...

    Fini le débat point ou virgule, fini les dessins de racine qu'on ne peut faire avec un clavier standard, fini les précisions "illusoires", ... et fini l'infini !


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  4. #2
    YBM

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    et : fini le théorème de Pythagore, finies les mesures de longueurs, fini le calcul différentiel, fini les décomposition de polynômes, fini les nombres complexes (Q+Qi n'est pas la clôture algébrique de Q), fini le théorème de la borne supérieure, finie la géométrie algébrique, finie la géométrie analytique, fini un paquet de théorèmes d'arithmétique.

    Par ailleurs, sais-tu qu'il est tout à fait possible de manipuler sqrt(2) de manière exacte avec un ordinateur ?

  5. #3
    pi-r2

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Je suis assez d'accord avec le titre. Le nom "réels" laisse entendre que ces nombres ont une réalité physique. Or justement, dans toute la physique, les mesures sont associées à une précisions, ou alors elles sont entières (ou un nombre entier de fois une constante ce qui est analogue). Les nombres réels sont définis en mathématiques comme les limites de séries de rationnels, donc justement comme des nombres non accessibles par un algorithme fini. Etrange non ?
    Il y a des nombres réel particuliers, les solutions d'équations à coefficients rationnels, comme racine de 2, qui semblent avoir plus de consistance physique. Mais les autres réels ?

    Cela revient à poser la question de la continuité de l'espace et du temps. Je ne crois pas qu'il y ait de preuves physique de cette continuité. En clair, y a til un quantum de temps et un quantum d'espace en dessous duquel on ne peut pas descendre ?

  6. #4
    Stephen

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Citation Envoyé par pi-r2
    Cela revient à poser la question de la continuité de l'espace et du temps. Je ne crois pas qu'il y ait de preuves physique de cette continuité. En clair, y a til un quantum de temps et un quantum d'espace en dessous duquel on ne peut pas descendre ?
    La longueur de Planck non ?

    Le nom de "réel" est effectivement mal choisi puisqu'en effet \sqrt{2} n'a pas de réalité physique - l'univers étant généralement admis comme étant discret.
    Comme l'a dit YBM, en revanche, l'intérêt mathématique (qui se prolonge dans l'intérêt du modèle mathématique d'une question physique) est indiscutable et il est impensable de s'en passer. Il n'y a que Yanick "TOUTAIN" qui pense qu'il faut foutre à la poubelle ces notions et "que" les GRECS le savaient "déjà".

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  8. #5
    pi-r2

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Oui , mais la longueur de planck s'applique aux distances, pas aux positions. On ne peut pas encore affirmer que l'espace se découpe en cubes de coté égal à la constante de Planck. Les modèles mathématiques continus sont des objets complexes qui permettent des algorithmes de résolution rapide. On retrouve ces concepts en informatique (pointeurs d'objets). Quand on en arrive au plancher des vaches (application numérique) on retrouve les limites de calcul et les approximations nécessaires.

    Ceci dit pour les anciens, c'est vrai qu'ils savaient beaucoup de choses. Mais entre savoir et exprimer clairement et de manière utile il y a un pas (la différence entre philosophie et science dure). En outre ils ne disposaient pas de l'informatique qui est un langage clair et simple pour exprimer les idées.

  9. #6
    pmdec

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    pi-r2 : "Oui , mais la longueur de planck s'applique aux distances, pas aux positions."

    Quelle est la signification de cette "nuance" ?

    pi-r2 : "Ceci dit pour les anciens, c'est vrai qu'ils savaient beaucoup de choses. Mais entre savoir et exprimer clairement et de manière utile il y a un pas (la différence entre philosophie et science dure)."

    Quand pensez-vous qu'a été écrit le texte dont ces passages sont extraits :

    «Observe en effet, toutes les fois qu'un rayon de soleil se glisse et répand son faisceau de lumière dans l'obscurité de nos demeures : tu verras une multitude de menus corps se mêler de mille manières [...], c'est que de telles agitations nous révèlent les mouvements secrets, invisibles qui se dissimulent aussi au fond de la matière. [...] Or il est évident que cette marche errante provient toute entière des atomes. [...] C'est ainsi, que partant des atomes, le mouvement s'élève et parvient peu à peu jusqu'à nos sens, et qu'il finit par atteindre ces particules que nous apercevons dans le rayon du soleil ; mais même alors les chocs qui le produisent nous demeurent invisibles.»
    [...]
    «A ce propos, il n'est pas étonnant que, malgré le mouvement incessant de tous les atomes, leur somme semble pourtant sommeiller dans un repos absolu, hormis les corps doués d'un mouvement propre.»

    N'est-ce pas là une description claire et utile du mouvement Brownien ?

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  11. #7
    Stephen

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Citation Envoyé par pmdec
    N'est-ce pas là une description claire et utile du mouvement Brownien ?
    Je ne vois pas en quoi...

  12. #8
    Aleph-0

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Salut,

    Citation Envoyé par pmdec
    Pourquoi vouloir "intercaler" quelque chose entre les nombres fractionnaires ? A quoi servent les réels ? Quels rapport ont-ils avec la réalité ?
    Comme déjà dit, les réels sont indispensables en physique.

    Pourquoi les réels seraient-ils moins ou plus en rapport avec la réalité que les rationnels, ou les complexes?
    Qu'appelles tu avoir un rapport avec la réalité?
    Ne penses-tu pas qu'un des liens éventuels avec la réalité d'une construction mathématique est justement sa possibilité d'application à la modélisation physique ?
    A ce titre, les réels sont bien "en rapport" avec la réalité (plus exactement avec notre modélisation de la réalité)

    Citation Envoyé par pmdec
    Un problème de continuité ? Mais qu'y a-t-il de continu dans l'univers ?
    Un problème de tangente ? Pas du tout, c'est l'ensemble de points alignés (une "droite") qui a les deux points successifs "qui vont bien" en commun avec la "courbe" (en plus, l'assemblage est deux fois plus solide !) Et ainsi de suite pour les autres "dérivées"...
    Euh la je ne comprend pas trop ce que tu veux dire par là.
    Une tangente ne peux exister que s'il y a continuité.
    (Derivable => Continu)


  13. #9
    pmdec

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Citation Envoyé par Aleph-0
    Salut,
    Comme déjà dit, les réels sont indispensables en physique.
    Mais "la physique" n'est qu'une perpétuelle approche de la réalité. Si l'utilisation de R (et + si affinité (C, ...)) ne me pose aucun problème en mathématiques, cela reste une approximation facile de la réalité, justement pour pouvoir utiliser les propriétés liées à la continuité : c'est beaucoup plus facile que de travailler sur des modèles discontinus.
    En conclusion, à mon avis, toute utilisation d'un ensemble continu n'est qu'une approximation pour décrire le "réèl" qui ne semble pas l'être (par exemple, distance de Planck, déjà citée dans un post).

    Citation Envoyé par Aleph-0
    Une tangente ne peux exister que s'il y a continuité.
    (Derivable => Continu)
    Quant à ma construction de tangente, c'est évidemment un "gag" pour illustrer mon point de vue, quoiqueuh ...

  14. #10
    Aleph-0

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Citation Envoyé par pmdec
    Mais "la physique" n'est qu'une perpétuelle approche de la réalité. Si l'utilisation de R (et + si affinité (C, ...)) ne me pose aucun problème en mathématiques, cela reste une approximation facile de la réalité, justement pour pouvoir utiliser les propriétés liées à la continuité : c'est beaucoup plus facile que de travailler sur des modèles discontinus.
    En conclusion, à mon avis, toute utilisation d'un ensemble continu n'est qu'une approximation pour décrire le "réèl" qui ne semble pas l'être (par exemple, distance de Planck, déjà citée dans un post).
    Je suis totalement d'accord.
    La physique est un ensemble de modèles théoriques, écrit en langage mathématique, reposant sur le système de verification/falsification par l'expérience. La physique ne dit rien sur la réalité elle-même, puisque ce ne sont que des modèles.

    En revanche, je ne vois pas comment l'aspect de facilité d'utilisation d'une construction mathématique (R) et encore moins son apparente différence avec un aspect de la mécanique quantique (distance de Planck et discontinuités) puissent dire quoi que ce soit sur son rapport avec la réalité ou puissent permettre de dire qu'elle est moins "réelle" qu'une autre construction mathématique (Q) ne présentant pas les mêmes caractéristiques de facilité d'utilisation ou de différence avec l'aspect discontinu de la distance de Planck.
    Pour moi, l'unique critère pertinent permettant de qualifier le lien entre la réalité et une construction mathématique (telle que R, Q, N, etc..) est son efficacité au niveau de son application dans les modélisations physiques. Par efficacité, j'entends la précision et le caractère universel des théories physiques utilisant ces constructions. Par exemple, prenons R, ou de façon plus générale la notion topologique de continuité. Grace à ces notions mathématiques abstraites, on peut parler de fonction dérivable, donc de vitesse instantanée, et on peut exprimer notamment les théories suivantes : mécanique newtonienne, relativité, mécanique quantique (cf. équation de Schrodinger). On peut noter au passage que la distance de planck ne peut même pas être construite sans l'utilisation à un moment donné, de la notion continuité.
    Pour résumer, je dirais :
    -tout modèle (qu'il utilise des réels, des rationnels ou des tenseurs de Riemann) n'est qu'une approximation pour décrire le réel. (par définition)
    -les nombres réels, tout comme les rationnels et les entiers, sont des constructions mathématiques (donc abstraites) qui n'ont qu'un seul lien avec la réalité : les théories physiques qui les utilisent. En particulier l'utilité et le caractère "réel" des réels (sic) se retrouve dans la quasi-totalité des théories physiques actuelles, puisque celles-ci reposent sur R.
    - On ne peut pas comparer ou opposer les aspects physiques des théories (par exemple : distance de planck et discontinuités) et les constructions mathématiques abstraites (réels) utilisées par ces mêmes théories. Cela n'a pas trop de sens, car les dernières sont necessaires à la construction des premiers...

  15. #11
    pi-r2

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Citation Envoyé par Aleph-0
    Je suis totalement d'accord.
    -les nombres réels, tout comme les rationnels et les entiers, sont des constructions mathématiques (donc abstraites) qui n'ont qu'un seul lien avec la réalité : les théories physiques qui les utilisent. En particulier l'utilité et le caractère "réel" des réels (sic) se retrouve dans la quasi-totalité des théories physiques actuelles, puisque celles-ci reposent sur R.
    Sur ce point là je ne te suis pas. Cela rejoint la discussion les mathématiques pré existent-elles à l'homme, mais les nombres entiers ne sont pas des constructions mathématiques.
    D'autre part, les lois de l'univers s'appliquent aux mathématiques puisque ces mathématiques sont crées au sein de l'univers. Les mathématiques ne sont sans doute pas aussi "libres" que tu le crois.

    "l'apparition" des nombres premiers me semble un phénomène analogue à la classification périodique des éléments. Il y a des théories intéssantes sur le hasard en mathématiques (pas les probas, le hasard au coeur des mathématiques). J'ai par exemple ce lien sur G. Chaitin:
    http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/

  16. #12
    Lambda0

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Sur la quantification de l'espace et du temps :
    A ma connaissance, il n'y a pas d'indication que l'espace et le temps soient quantifiés. Peut-être des théories, mais pas d'évidence expérimentale. Les théoriciens me corrigeront si je me trompe.
    La signification physique de la longueur de Planck me parait un peu douteuse : j'ai l'impression qu'il s'agit surtout d'une définition commode d'un système d'unités, utilisé par les théoriciens et permettant d'alléger les équations.
    D'ailleurs, ce même système définit aussi la masse de Planck, qui a une valeur presque macroscopique.
    Et on fait la même chose en électromagnétisme.


    Sur la nécessité de l'utilisation des nombres réels :
    Là encore, il n'y a rien d'évident.
    L'utilisation de la notion de fonction continue, des différentielles, des intégrales semblent imposer l'utilisation des nombres réels pour traiter correctement les passages à la limites.
    Mais ce n'est qu'une façon parmi d'autres de formuler les équations.
    Exemple: à la forme locale des équations de Maxwell, utilisant des opérateurs différentiels et des variables d'état locales (les champs E et B) correspond une forme intégrale absolument équivalente : disparition des opérateurs différentiels, 1ère étape.
    On change ensuite de variables d'état en remplaçant B par le flux du champ magnétique et E par la circulation du champ électrique pendant un intervalle de temps, 2ème étape
    Ces quantités sont définies sur des domaines finis, qui ne sont pas nécessairement infinitésimaux.
    Je vous fait grâce des calculs, un peu long à développer, mais on peut écrire une formulation des équations de l'électromagnétisme sans passages à la limite (ni différentielles, ni intégrales).
    Et les nouvelles variables d'état ne sont pas moins physiques que E et B, bien au contraire : ce sont des grandeurs directement accessibles à la mesure. Ce sont justement E et B qui sont des abstraction mathématiques découlant d'un passage à la limite.
    Il faut bien comprendre ce que celà signifie : on ne remplace pas les différentielles par des différences finies (rot E = -dB/dt n'est pas équivalent à rot E = -(B(t+dt)-B(t))/dt). On écrit les équations sous une forme différente, équivalente à la formulation locale habituelle.
    C'est de cette façon que l'on arrive à implémenter sur des calculateurs discrets la résolution des équations de Maxwell sans approximations liées à la discrétisation des équations, en raisonnant sur des volumes finis d'espace-temps.
    Dans ce cas précis, le fait que l'espace et le temps ne soient pas quantifiés n'impose pas l'utilisation des nombres réels.

    L'utilisation des fonctions continues, des différentielles, etc. est un formalisme mathématique parmi d'autres possibles, et un des ces autres formalismes possibles sont les mathématiques discrêtes qui se sont beaucoup développées depuis 50 ans car mieux adaptées au calcul numérique : l'idée est que ce ne sont pas les calculateurs discrets qui limitent la précision des calculs mais un formalisme mathématique inadapté car fondé sur une abstraction mathématique (l'ensemble R) qui n'a pas de représentation exacte sur les calculateurs discrets.
    J'insiste encore sur le fait qu'il ne s'agit pas de simples approximations par des différences finies, mais de formulations absolument équivalentes, ce qui laisse penser que R est plus riche que nécessaire.
    En ce qui concerne les équations algébriques, on notera que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable : il n'est donc pas nécessaire non plus d'introduire les nombres réels à ce niveau. J'ai déjà évoqué la représentation de ces nombres dans une autre discussion.

    Il faudrait voir ce que celà donne pour d'autres équations de la physique, par exemple si l'équation de Schrodinger peut être formulée différemment, de façon à manipuler non plus une fonction d'onde locale mais une fonction de domaine.

    En conclusion: ceci n'est pas une démonstration générale, j'ai un peu développé l'exemple que je connais le mieux (l'électromagnétisme), mais il y a sûrement là un sujet de recherche intéressant, à mi-chemin entre physique et mathématiques.

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  18. #13
    Aleph-0

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Citation Envoyé par pi-r2
    les lois de l'univers s'appliquent aux mathématiques puisque ces mathématiques sont crées au sein de l'univers. Les mathématiques ne sont sans doute pas aussi "libres" que tu le crois. l'apparition des nombres premiers me semble un phénomène analogue à la classification périodique des éléments.
    J’admet volontiers que les mathématiques sont crées au sein de l’univers, puisqu’elles proviennent, à mon avis, de l’esprit humain. Je corrige donc en italique ma précedente phrase : «[les entiers]... (à part le lien provenant du fait qu'ils sont construits par des êtres réels) n'ont qu'un seul lien avec la réalité : les théories physiques qui les utilisent.»
    Cependant cette création, au même titre que toute abstraction humaine, n’existe pas (pour moi) dans la nature au même titre qu’un électron, un arbre ou un humain.
    On retrouve la classique opposition entre le formalisme mathématique et le réalisme platonicien dont une des thèses est : les nombres entiers existent bien dans « le réel » tel qu’on le perçoit avec nos sens.
    Pour bien faire, il faudrait distinguer deux sortes de naturels. Tout d’abord les naturels « métamathématiques » nécessaires à la construction de la logique mathématique et des théories mathématiques axiomatiques (théories des ensembles, etc.). Ensuite les naturels « mathématiques » correspondant à une axiomatique du type Peano ou d’une autre théorie. Dans les deux cas, je pense qu’il (ne) s’agit (que) de constructions de l’esprit.
    Attention, je ne nie pas que c’est tout de même gràce (entre autres) à son observation de la nature que l’homme a pu concevoir les mathématiques en général et les nombres entiers en particulier. Je ne nie pas non plus le caractère particulièrement fondamental des nombres entiers, sans qui on ne pas concevoir grand-chose. (Il est d’ailleurs fortement probable que si l’on recontre un jour une intelligence extra-terrestre, elle ait developpé le concept d’entiers naturels).
    Mais cela n’est pas à mon avis une découverte d’un objet (l’objet 1, 2 ou ?) mais une création d’un concept.
    Evidemment, je ne pense pas que tout est permis et possible en mathématiques, car celles-ci sont soumises à des règles de logique mathématique (qui ne sont pas, à mon avis, des "lois de l’univers").
    Il existe certainement un grand nombre de degrés de liberté dans les mathématiques. Tout d’abord justement dans le choix de la logique utilisée (logique classique ou intuitionniste, ou...) et de la théorie mathématique dans laquelle on se place. (exemple classique : le cadre axiomatique de Zermelo-Fraenkel avec l’axiome du choix (ZFC), qui correspond au cadre des mathématiques « courantes »). Ensuite, une fois que l’on a un cadre, il y a liberté dans le choix des définitions qui nous intéressent. Les démonstrations des théorèmes suivant toujours les règles de déductions correspondant au cadre choisi.
    C’est bien à cause de (ou grâce à) ces libertés que la mathématique est au moins aussi proche de l’art que des « sciences de la nature ».
    Art qui a une particularité : il est utile (euphémisme) et extremement efficace pour la modélisation de l’univers, par le biais de la physique. Il n’en reste pas moins qu’il est tout à fait plausible que nombres de définitions/théorèmes en mathématiques (dans des axiomatiques diverses) n’ait aucune relation evidente avec une observation de la nature ni aucune application en physique à court ou long terme.

    Citation Envoyé par pi-r2
    Il y a des théories intéssantes sur le hasard en mathématiques (pas les probas, le hasard au coeur des mathématiques). J'ai par exemple ce lien sur G. Chaitin:
    http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/
    Merci pour le lien. Je souscris totalement à l’idée d’un hasard dans l’activité mathématique. (Comme d’ailleurs dans la totalité des activités humaines).

  19. #14
    Aleph-0

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Citation Envoyé par Lambda0
    Sur la nécessité de l'utilisation des nombres réels :
    Là encore, il n'y a rien d'évident.
    Juste pour préciser, dans la phrase « les réels sont indispensables en physique », je voulais bien entendu parler de la physique actuelle (l’électrodynamique quantique, la relativité, et les cas particuliers que sont l’électromagnétisme, la mécanique classique, etc..) et non pas de la physique en général. Je précise car je ne pense absolument pas qu’il y a une relation de nécessité entre la physique (générale, en tant que concept) et l’utilisation des nombres réels. Je voulais simplement souligner leur nécessité et leur utilité pour les théories physiques qu’on utilise actuellement. On peut parfaitement imaginer que dans le futur, on développe une théorie physique extrêmement puissante sans faire appel aux nombres réels, à la continuité, etc…
    (Mais j’en doute, je pense même qu’il fort probable que les objets mathématiques qui seront utilisés par une éventuelle théorie unificatrice soient bien plus complexes que les nombres réels).

    Citation Envoyé par Lambda0
    on peut écrire une formulation des équations de l'électromagnétisme sans passages à la limite (ni différentielles, ni intégrales).
    Et les nouvelles variables d'état ne sont pas moins physiques que E et B, bien au contraire : ce sont des grandeurs directement accessibles à la mesure. […]
    Dans ce cas précis, le fait que l'espace et le temps ne soient pas quantifiés n'impose pas l'utilisation des nombres réels.
    Je ne suis pas sûr qu’il soit possible d’écrire une formulation équivalente de l’électromagnétisme en supprimant le corps des réels. On peut certainement se ramener à des formes intégrales (et là on ne parle plus d’intégrale de Riemann, puisqu’on refuse la continuité, on arrive à l’intégrale de Lebesgue, les fonctions mesurables, et plein de choses pas vraiment simples) des équations de Maxwell.
    Mais comment alors parler d’exponentielle et de logarithme ? de sinus ? de cosinus ? Sans ces fonctions, l’électromagnétisme est amputé d’outils pour le moins utiles.

    Citation Envoyé par Lambda0
    Il faudrait voir ce que celà donne pour d'autres équations de la physique, par exemple si l'équation de Schrodinger peut être formulée différemment, de façon à manipuler non plus une fonction d'onde locale mais une fonction de domaine.
    Pour la mécanique quantique cela me parait encore plus difficile d’éliminer l’utilisation des nombres réels. Tout simplement parce que les fonctions d’ondes sont à valeurs dans C (et C sans R c’est délicat )

  20. #15
    pi-r2

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Pour essayer de faire partager mon point de vue sur les mathématiques. Nous sommes d'accord que les mathématiques représentent une abstraction qui en elle-même n'est pas réelle au delà de la représentation mentale d'un être intelligent. (Sa seule "réalité" est le changement d'état de la configuration globale de notre cerveau quand on la conçoit). Pour prendre l'exemple des nombres, un nombre en lui même admet une infinité de représentations très diverses. Les mathématiques représentent une couche de complexité supérieure, une forme de compression de l'information qui permet des raccourcis efficaces.
    Cependant, un certain nombre de concepts que l'on déduit des mathématiques ont des "conséquences" une fois replongés dans le monde réel. Ces conséquences existent qu'il y ait ou non une intelligence pour modéliser et comprendre le phénomène. C'est ce point là qui me permet de penser que les mathématiques ont une existence indépendante de l'être humain, et qu'effectivement comme tu le dis Aleph0, une intelligence extra terrestre aura nécessairement un concept de nombres entiers.
    Pour ce qui est de C et R, je pense qu'on pourrait créer à partir de l'ensemble des Algébriques un ensemble équivalent à C sans contradiction (on tiendrait bien toutes les racines de polynôme, sans avoir à embarquer tous les autres irrationnels). On resterait donc dans un milieu dénombrable.

  21. #16
    Aleph-0

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Citation Envoyé par pi-r2
    un certain nombre de concepts que l'on déduit des mathématiques ont des "conséquences" une fois replongés dans le monde réel. Ces conséquences existent qu'il y ait ou non une intelligence pour modéliser et comprendre le phénomène. C'est ce point là qui me permet de penser que les mathématiques ont une existence indépendante de l'être humain
    Si "replongés dans le monde réel" signifie "appliquées à des théories physiques" je ne vois pas pourquoi des conséquences existent pour la réalité, qu'il y ait ou non une intelligence. Si on applique les mathématiques à des théories, ce sont celles-ci qui "subiront" les conséquences des particularités des objets mathématiques crées (exemple : distance de Planck), et non pas la réalité elle-même.
    Puisque les mathématiques sont qu'appliquées à des modèles (physiques) et que les modèles sont par définition des approximations de la réalité, il ne me semble pas du tout evident que les objets mathématiques ont une existence indépendante de l'être intelligent (humain ou extraterrestre) qui les produit et utilisent.
    Si on considère une intelligence extraterrestre, il n'est pas certain qu'elle utilise le même "type" d'entier que les humains, car après tout il existe différentes sortes d'axiomatisation de l'arithmétique. D'ailleurs, les humains ont la possibilité d'utiliser au moins deux sortes d'entiers : les entiers issus de l'axiomatisation de Peano et les entiers issus de l'axiomatisation ZFC.
    Ils sont bien différents puisqu'une assertion sur les entiers comme celle ci (théorème de Goodstein) ne peut pas être démontrée avec l'arithmétique de Peano, mais est démontrable dans ZFC.
    Mais même si une intelligence extraterrestre possède (grosso modo) les même objets mathématiques (par exemple : nombres entiers) que les humains, cela n'implique pas pour moi que les mathématiques existent indépendamment de l'intelligence, cela peut tout au plus signifier qu'il y a un lien entre la representation de l'univers par les intelligences et les mathématiques.

  22. #17
    pmdec

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Pour en revenir à mon "idée" de départ, j'aimerais poser deux questions aux intervenants du fil dont les propos sont fort intéressants (et aux autres aussi !) :

    1. Est-ce que le simple fait d'utiliser l'ensemble R en physique "interdit" de conclure à la continuité ou à la discontinuité de l'espace et/ou du temps : soit l'on "découvre" que ces entités sont continues, et c'est une simple tautologie, soit, au contraire, on "découvre" leur discontinuité, et l'on aura alors simplement prouvé que le raisonnement est faux quelque part (ce quelque part étant particulièrement "diffus", voire obscur en ce qui me concerne ...).

    2. En faisant l'impasse sur la question précédente, est-ce qu'on ne pourrait, dans le cas où les objets (particules, ondes, ...) qui peuplent l'Univers seraient, comme le prétendent certaines théories actuelles, non "localisables" de manière absolue, marquer par là une différence entre "le monde physique" (où il y a toutes sortes d'infinis et autres propriétés curieuses pour l'esprit) et le monde vivant marqué par une évidente "entierité" (on peut assurément y dénombrer et même compter les chats, lesquels ne peuvent y être entre la vie et la mort qu'à cause de pronostics déficients ...).

  23. #18
    Theyggdrazil

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Bonjour,

    Je ne souhaite pas participer au débat, mais j'aimerais toutefois vous donner une référence qui pourrait vous apporter quelques pistes, il s'agit du hors-série sciences et avenir de avril-mai 2004, "Le mystère des nombres".

    Cordialement,
    Yggdrazil
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)

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  25. #19
    Slimounet

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Je me permets de rouvrir le débat puisque j'ai été dirigé par l'un des participants au forum vers ce topic en rapport avec une discussion que j'ai initiée.

    Je ne prétends pas déterminer ce qui continue à faire débat parmi les mathématiciens, cependant voici mes réflexions sur le sujet;

    Il me semble que comme toute activité humaine, les mathématiques sont un outil ultime de conceptualisation. Et dans ultime réside la clareté et l'unicité d'un résultat démontré correctement; si l'on devait refaire le chemin pour arriver à cette conclusion, même si l'on prenait par les bois plutôt que par le village, on se retrouverait au même endroit, ceci grâce à la logique. Un résultat mathématique est un acquis pour toujours !

    De fait, les mathématiques sont un outil conceptuel, une sorte d'objet manipulé par notre conscience, un langage formel universel. D'ailleurs, deux mathématiciens ne parlant pas du tout la même langue sont tout à fait à même de se comprendre lorsqu'il s'agit de faire une démonstration.

    Maintenant, notre esprit semble apte à manipuler tout objet conceptuel, même l'infini alors qu'il n'en a aucune approche expérimentale.

    Parmi tous les objets (infinis) que les mathématiques ont construit ou vont construire, il y en a qui permettent de donner une description approximative du réel mais suffisament proche pour que l'on accepte la confusion probable (possible ?) entre réel et mathématique.

    Ainsi on peut se poser la question de savoir si tout objet mathématique dispose d'une réalité ?
    Si oui alors l'infini existe, la continuité aussi, les nombres imaginaires aussi prendront tôt ou tard un pied dans le réel.
    Si non, alors nous ne faisons que piocher dans des outils absolus pour construire un modèle du réel, sans que tous ces outils n'aient une réalité concrète forcément.

    Mais notre monde réel semble nous imposer des limites que la conceptualisation mathématique peut éviter; par exemple, dans la théorie des ensembles, il est tout à fait permis de bâtir un ensemble "farfelu", en fait tout ensemble, pour peu qu'il ait une définition existe mathématiquement parlant... même celui qui n'a pas de définition ou qui n'existe pas !!!

    En fait, la liberté de conceptualisation n'a pas de limites et accepte tout ensemble et tente de définir ses propriétés, aussi paradoxales soient-elles.
    Notre réalité ne peut s'accomoder de tels paradoxes et si l'on poussait le raisonnement on pourrait peut-être penser que notre univers est l'une des solutions du problème suivant : soit Ereal l'ensemble des univers définis par des constantes locales qui n'engendrent pas de paradoxe.
    La réalité pourrait se définir comme une solution mathématique d'un problème qui n'admet pas de paradoxe !!!

    Dans le cas contraire (un paradoxe est possible) nous ne pourrions probablement pas parler de science expérimentale puisqu'il pourrait y avoir plusieurs explications incompatibles pour expliquer un phénomène et une loi pourrait être violée sans que l'on ait d'élément pour déterminer la raison de cette violation (dans ce monde, Platon dit "tous les grecs mentent. je suis grec", et il est indécidable de dire que Platon ment ou dit la vérité).

    Donc à partir de l'observation simple qui est de voir que nous avons une science expérimentale qui semble fonctionner et n'ait pas trouvé encore de limite infranchissable à la description de notre monde (si ce n'est de ce qui n'en fait pas partie peut-être...), j'ai tendance à penser que nous sommes une solution des ensembles mathématiques aux propriétés n'admettant pas de paradoxe.

    Tout ça pour en revenir à notre aller-retour perpétuel entre équations mathématiques et description réaliste.
    Comme je l'ai dit dans l'autre topic que j'ai ouvert sur la question, il semble assez clair que notre monde de particules élémentaires dont les interactions définissent des propriétés physiques qui semblent aujourd'hui inexplicables (échelle microscopique à échelle macroscopique) voire contradictoires, impose une trame pour les particules élémentaires dont les dimensions spatio temporelles définies par Planck semblent être les plus petits segments.

    Si notre univers était continu, il créerait des paradoxes.

    Mais on pourrait imaginer qu'entre les trames de l'univers spatio temporel il y ait encore plus petit, de l'infiniment petit. Mais ce serait peut-être un rembourage purement mathématique et dès lors innaccessible à notre monde qui exclut le paradoxe ?...

  26. #20
    pi-r2

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    de mon point de vue, k'univers génère des paradoxes et ce sont les résultats de sortie de ces paradoxes qui génèrent la complexité croissante.
    D'autre part, les mathématiques sont formalisables sous forme d'informations dans notre cerveau et en cela elles sont soumises aux lois de l'univers au même titre que l'ensemble de notre imagination. On ne peut pas concevoir mathématiquement quelquechose qui ne pourrait pas être mis dans notre cerveau.
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !

  27. #21
    Slimounet

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    On ne peut pas concevoir mathématiquement quelquechose qui ne pourrait pas être mis dans notre cerveau.
    Comment peux tu avancer cela ?
    Ce n'est qu'un présupposé qui n'est étayé par rien de concret. C'est ce que pensaient de nombreux mathématiciens antiques qui ne pouvaient manipuler la notion d'infini, considérant qu'il s'agissait d'une notion hors de la portée de la pensée, à cause de la finitude de l'homme.
    Et puis certains ont osé construire et manipuler l'infini d'état, pas uniquement celui constructible pas à pas.
    Aujourd'hui l'utilisation de l'infini voire du zéro (autant absent de notre monde réel que l'infini) ont permis d'avancer dans la compréhension des lois qui régissent le monde réel.

    Enfin, l'univers ne semble pas générer de paradoxes du tout; ce sont les résultats des différentes théories, montages intellectuels, qui génèrent des paradoxes éventuels. Hors, tout l'objet de la science c'est de trouver de nouveaux montages intellectuels qui expliquent ce que l'on croyait être comme des paradoxes.

    Les lois de notre univers semblent être à ce titre stables. Que notre description ne soit pas à la hauteur et génère des paradoxes n'enlève rien au fait que l'erreur vient de nous, pas de l'univers !

  28. #22
    pi-r2

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    simplement une tautologie: si on ne peut pas le mettre dans notre cerveau, on ne peut pas le concevoir. Rien à voir avec ce que l'on croit ne pas pouvoir concevoir...
    Quant à la notion de paradoxe, c'est une analogie qu'il est difficile de comprendre. L'univers ne génère pas des paradoxes à proprement parler au sens logique. Mais ce sont des évènements analogues. Et c'est ça le moteur de l'augmentation de complexité des objets de l'univers (selon moi). C'est en ce sens que les lois de l'univers montrent une certaine instabilité puisqu'elles génèrent des choses "nouvelles".
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !

  29. #23
    Slimounet

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Raisonnement pas clair à base de postulat douteux...

    Je ne comprends pas ta réponse !

  30. #24
    mbollaert

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Bonjour Slimounet,

    J'ai une discussion un peu similaire avec pi-r2 dans un autre topic. Je crois que tu comprendras mieux ses propos si je te dis (d'après ce que j'ai compris) que pi-r2 voit l'univers (mais aussi l'esprit humain) comme une sorte de système formel qui aurait la capacité de poser lui-même comme nouveaux axiomes certaines de ses propositions indécidables. J'essaye de le convaincre que ce n'est pas possible, mais en vain
    (pi-R2, j'espère que je ne déforme pas tes propos...)

    Cette discussion est passionnante, merci aux intervenants pour sa qualité.

    Amicalement.

  31. Publicité
  32. #25
    Slimounet

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Dans ce cas il se comporte comme le fait un croyant, un religieux sans religion ou il essaye de fonder une religion mathématique mais pas un raisonnement !

    J'ai moi aussi une tendance à imaginer le monde qui me fascinerait, mais lorsque je me confronte au réel je me cantonne à réfléchir sur les bases de ce que nous propose la logique de ce monde, et souvent c'en est encore plus mystérieux que mes propres fantasmes.

  33. #26
    pi-r2

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    Non, Mbollaert ce n'est pas trop loin de ce que je dis. Mais pour répondre à slimounet, je n'imagine rien, je réalise, car j'ai compris depuis longtemps que mes raisonnements étaient faussés par des hypothèses implicites (non formulées). J'ai donc cherché un support sur lequel je pourrais écrire mes fantasmes comme tu dis sur un support qui lui n'ajoute pas ces hypothèses non formulées. Ce support c'est l'ordinateur. c'est pourquoi je me suis mis à l'IA.
    Et je n'essaye pas de fonder de religion. j'essaye juste de comprendre vraiment en me débarassant de toutes ces croyances, surtout celles qui ne sont pas exprimées mais profondément ancrées dans notre esprit et qui faussent notre appréciation des perceptions.
    Par contre je suis d'accord avec ton "pas clair" parce que si c'était clair je pourrais vous démontrer ce que j'avance ce qui n'est pas encore le cas (et ne le sera jamais si je me trompe de voie)
    Les bonnes idées triomphent toujours... C'est à cela qu'on reconnait qu'elles étaient bonnes !

  34. #27
    uvdr

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    salut à tous,

    une simple petite précision :
    les mathématiques ne s'intéressent pas au temps,
    c'est un problème de physicien.

    cordialement

  35. #28
    tinmar

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    j'ai souvent du mal a me faire comprendre mais pour moi la separation entre mathematique et realité n'est pas si evidente.

    les analogies entre certaines structures mathematiques et notre univers sont trop troublantes.
    les theoriciens ont du mal a expliquer pourquoi les mathematiques peuvent fournir de modeles si precis de notre univers, mais la reponse est évidente si l'on considere juste qu'il existe des isomorphismes entre certains ensembles mathematiques et certaines parties de notre univers.
    la separation entre "realité" et mathematique est un point de vue purement ethnocentriste qui resulte du fait que nous sommes les elts d'une classe d'equivalence dont la relation serait "pouvoir interagir".
    il nous a donc paru naturel d'appeler realité l'ensemble de ces elements cad (en simplifiant a l'extreme) un R ev dont une base serait:
    (longueur,hauteur,largeur,mass e,duree,charge)
    et de nous mettre ainsi a l'ecart du reste des mathematiques

    mais cette espace n'a rien de particulier si ce n'est de nous engendrer, 1 n'est pas un vecteur moins "réel" que masse.
    on pourrait dailleur imaginé qu'un nouveau né sous perfusion et constemment equipé d'un casque le reliant a un monde virtuel n'aurait aucune conception de la masse.


    p.sour mieux envisager cette perception des choses il est imperatif de comprendre "notre univers" forme un ensemble "figé" et que la notion de mvt est totalement dependante de notre perception du temps.

  36. #29
    1eiht7

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    "De toute façon, c'est ainsi que procèdent les calculs "informatiques" (le calcul est toujours fait, à un moment ou un autre, sur des nombres entiers)"

    lol, je suis en première année de DUT Informatique et sa me fait rire. Je veux pas être méchant mais vaux mieux bien se renseigner avant de parler. les calculs entiers dans un ordinateur se font selon des conventions assez simple, VAS, C2, E2^n-1... les entiers sont exprimés de facon asséz simple, du genre 0000 0100 pour 4 en convention C2 sur 8 bits. alors que les réels sont exprimés en virgule flottante normalisée, de la facon la plus courant en convention IEEE. Sur 32 bits, le premier bit est le bit de signe, les 8 bits suivants représentent l'exposant signé en convention E2^7, et les 23 autres bits sont la mantisse, ce qui fait que des chiffres finalement assez simple comme 0,23 ne peuvent pas être représentés de manière exacte vu que la décomposition est sans fin (la valeur réelle pour 0.23 n'est donc pas exactement 0.23 mais quelquechose dassez proche, du genre 0.231496849064). dire que "le calcul est toujours fait, à un moment ou un autre, sur des nombres entiers" est totalement faux

    Citation Envoyé par pmdec
    Pourquoi vouloir "intercaler" quelque chose entre les nombres fractionnaires ? A quoi servent les réels ? Quels rapport ont-ils avec la réalité ?

    Le temps est, je crois (~10^-12 ?), la grandeur mesurée avec la plus grande précision. Donc 14 chiffres au maximum (dont 2 pour "avoir de la marge" !), le tout multiplié ou divisé par une puissance de dix, suffisent à écrire toutes les mesures physiques vraiment réelles. Point n'est donc besoin d'utiliser un autre ensemble que celui des rationnels ! De toute façon, c'est ainsi que procèdent les calculs "informatiques" (le calcul est toujours fait, à un moment ou un autre, sur des nombres entiers).

    Racine de 2 = (pas "~" !) 14 142 135 623 731/10 000 000 000 000
    Pi = (pas "~" !) 31 415 926 535 898/10 000 000 000 000
    (...)

    Un problème de continuité ? Mais qu'y a-t-il de continu dans l'univers ?
    Un problème de tangente ? Pas du tout, c'est l'ensemble de points alignés (une "droite") qui a les deux points successifs "qui vont bien" en commun avec la "courbe" (en plus, l'assemblage est deux fois plus solide !) Et ainsi de suite pour les autres "dérivées"...

    Fini le débat point ou virgule, fini les dessins de racine qu'on ne peut faire avec un clavier standard, fini les précisions "illusoires", ... et fini l'infini !


  37. #30
    JPL
    Responsable des forums

    Re : L'ensemble R des réels : quel drôle de nom !

    lol, je suis en première année de DUT Informatique et sa me fait rire. Je veux pas être méchant mais vaux mieux bien se renseigner avant de parler.
    Tu ne veus pas être méchant, mais tu l'es un peu parce que tu le prends de haut. En plus tu as tort.
    Tes nombres en virgule flottante sont représentés par une combinaison de 2 nombres binaires : la mantisse et l'exposant. Or les nombres binaires ne peuvent être que des entiers. C'est ce que voulait dire le message que tu critiques. Ceci étant, le reste de ton explication montre que tu as assimilé ton cours.
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

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