Décroissance des coefficients des série de Fourier dune fonction

[invite412f80f3]

Bonjour, On sait que si une fonction f est périodique de période et f est de classe alors ses coefficients de sa série de Fourier sont
.
Que dire de ces coefficient si la fonction f est périodique de période et f est dans l'espace de Holder où .
est ce que le premier résultat peut etre généralisé et on aura comme ça:
.
Ou il y a des contre exemples???
Merci pour l'aide
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[Gwyddon]

Si f est s-holderienne, elle est s-dérivable donc je crois qu'il n'y a pas de soucis

[invite6b1e2c2e]

Tu es sûr de toi là ? Il me semble que ce que tu dis correspond plus ou moins à dire que C^s est un espace d'interpolation entre L^2 et C^1, et quelque part, ça m'étonnerait un peu...
De plus, si mes souvenirs sont exacts, la décroissance se démontre en faisant une intégration par partie et après c'est trivial. Pb : Comment faire une IPP avec des fonctions C^s ? Définir un crochet de dualité ? Il me semble que ça devrait définir un opérateur non local (genre (-laplacien_neuman)^s, avec s non entier), et je ne vois pas trop alors comment le domaine de cet opérateur pourrait être exactement les fonctions C^s, qui ont, elle, une définition locale...
En gros, si tu penses avoir une preuve, j'aimerai bien la voir, parce que je ne crois pas trop au résultat que tu énonces. Cela dit, je ne demande qu'à changer d'avis, hein

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rvz, qui en première lecture aurait dit pareil, mais à force de travailler dans des H^s toute la journée, on commence vite à douter de tout....

[invite412f80f3]

A rvz: Je suis d'accord avec toi, la décroissance des coefficient vient aprtés une intégration par partie. Et les problème que tu as signalé je l'ai déja rencontré en essayant la génaralisation de ce résultat.
J'ai démontré que si et f et g sont deux fonction de alors
, Mais j'ai pas pu terminer l'intégration par parties.

A 09Jul85: Comment ça, il y a pas de soucie?
N'oulie pas qu'il ya un proverbe français qui dit:
"Il ne faut pas généraliser à la légère"
Un juste une indication sur la généralisation, que tu vois triviale.
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Bon en fait j'ai dû parler trop vite, oubliez complètement ma remarque assez nulle

[invite6b1e2c2e]

Tu es sûr de toi là ? Il me semble que ce que tu dis correspond plus ou moins à dire que C^s est un espace d'interpolation entre L^2 et C^1, et quelque part, ça m'étonnerait un peu...
Pb : Comment faire une IPP avec des fonctions C^s ? Définir un crochet de dualité ? Il me semble que ça devrait définir un opérateur non local (genre (-laplacien_neuman)^s, avec s non entier)

Bon, je sais, je commence à soliloquer et à me citer, c'est le premier pas (ou pas) vers la démence, mais je vais compléter un peu ce que j'ai dit.
Les , c'est les Sobolev fractionnaires. En gros, ça correspond au domaine de l'opérateur (-lapacien) ^s.
En fait, il est facile de montrer les résultats suivants :
Pour , les coefficients de Fourier satisfont , i.e. les coefficients sont dans l^2.
Si , on voit aussi que , ce qui veut dire que les coefficient sont dans l'espace à poids l^2(k^2).
Maintenant, si je définis h_s comme l'ensemble des suites telles que , j'obtiens un espace de Hilbert, compris entre h_0 = l^2 et h_1 = l^2(k^2) pour s entre 0 et 1.
On observe également que
pour toute suite a de h_1.
C'est une inégalité d'interpolation.
De même, si je définis pour une fonction f de H^1 la norme s par , et que je complète cet espace pour cette norme. J'obtiens un espace, nommé H^s, et on peut vérifier via les propriétés classiques de la transformée de Fourier que H^0 = L^2, H^1 coincide avec le premier H^1 que j'ai défini.
En faisant du Holder, on s'aperçoit que la encore, on a une inégalité du type

pour toute f de H^1, et ces 2 expressions (je ne sais plus trop si celle de droite est une norme) sont équivalentes sur H^1 (c'est plus dur à démontrer mais ça se fait, toujours en fourier).
Evidemment, les normes que j'ai notées correspondent aux normes qui définissent l'espace fonctionnel ou séquentiel d'ordre s.
Maintenant, si je prends une fonction f de H^1, alors je peux voir assez facilement (disons résultat classique) que


Et donc par le théorème d'interpolation de Marcinkiewicz (cf Lions Magenes par exemple), qui découle du fait que pour f dans H^1, les normes || ||_s et celle avec les puissances sont équivalentes, et que H^1 est dense H^s.
Tout ça pour dire que la théorie est quand même bien plus claire dans le cadre des espaces de Hilbert, et
que je ne suis pas sûr que tout se passe aussi bien pour des holder.

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rvz

[invite412f80f3]

tu viens d'affirmer que:
En fait, il est facile de montrer les résultats suivants :
Pour , les coefficients de Fourier satisfont , i.e. les coefficients sont dans l^2.
Si , on voit aussi que , ce qui veut dire que les coefficient sont dans l'espace à poids l^2(k^2).

Pour la première affirmation, je suis totalement avec d'accord avec toi.
Mais pour la deuxième comment ça se fait???
je ne te cache pas les chose se sont compliqué davantage
Merci en tout cas pour la réponse. et tes nouvelles remarques sont les bien venues

[invite6b1e2c2e]

J'admets bien volontiers que 'facile' n'est certainement pas le mot le plus adapté. En fait, ça vien d'une intégration par partie, comme dans le cas des fonctions C^1, sauf qu'il s'agit d'un crochet de dualité, puisqu'il s'agit de fonctions dérivables au sens des distributions.
Tu obtiens
et tu dis que f' est dans L^2.
N'hésite pas à demander plus de détails si tu connais mal cette théorie, j'essaierai de répondre le plus clairement possible.
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rvz

[invite412f80f3]

Bonjour tout le monde
Merci rvz pour ta réponse.
effectivement j'ai du mal a comprendre ta réponse, surtout que ma fonction f est s-Holdérienne et tu viens de la dériver dans ta dérnière réponse, ce qui a mon avis n'a pas de sens, surtout que mon .
Je vous serais reconnaissant si tu me donnes plus de détails.
Merci bien davantage pour l'aide
Amicalement
Dhahri

[invite6b1e2c2e]

Bonjour,

Déjà, tu peux me tutoyer, hein, je suis pas si vieux
Je dis juste que si tu prends une fonction C^1, ou dérivable au sens des distributions (cf L. Schwartz, Distributions), avec la dérivée dans L^2, alors tu peux faire une IPP.
NB : Dériver au sens des distributions est toujours possible pour une distribution (notamment toute fonction de L^1 loc, mesure, et je passe sur les horreurs qu'on peut imaginer...) Ce qui est important ici, c'est que cette dérivée, qui est une distribution, est vraiment une fonction, puisqu'elle est dans L^2. (Là encore, il y aurait plein de remarque à faire, puisqu'un élément de L^2 n'est défini que presque partout...)

__
rvz

[invite412f80f3]

Est ce que tu peux me donner des liens ou je peux trouver tout ce que tu me racontes en détail

[invite6b1e2c2e]

Pour des liens sur les distributions et leur série de fourier, regarde dans la bibliothèque de maths le cours de l'ens cachan, en particulier le chapitre 12. Pour la théorie de l'interpolation, c'est assez difficile de trouver des références simples. Tu peux toujours regarder le Lions Magenes intitulé Espaces de Sobolev, le 1 er chapitre, en particulier le théorème de Marcinkiewicz (paragraphe 15 je crois), en virant pas mal de truc avant qui sont loin d'être nécessaire pour ton propos. En fait, la transformée de Fourier te permet de définir des dérivées d'ordre s en multipliant par \xi^s la transformée de fourier, mais ce n'est malheureusement possible que dans les espaces où la transformée de Fourier est "gentille", i.e. L^2 ou autre hilbert sympathique.

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rvz