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logarithme complexe et equation différentielle



  1. #1
    gatsu

    logarithme complexe et equation différentielle

    Bonjour,

    Lors d'un TD en résolvant "à la physicien" une equation differentielle du 1er ordre linéaire homogène à coefficients constants du type :



    J'ai écrit (si y different de zéro) :


    Et j'ai intégré en écrivant joyeusement :


    où A est une constante (appartenant a priori à C).
    Un étudiant m'a ensuite dit que j'avais oublié la valeur absolue en intégrant dans le log , ce qui était vrai et je m'en suis excusé...

    Le truc c'est que je me suis ensuite dit que si j'avais cherché les solutions dans C a priori et pas dans R j'aurais dû faire intervenir un log complexe, auquel cas, étant donné qu'il y a une ligne de branchement à l'origine, si j'avais travaillé dans le plan complexe privé d'une demi droite qui n'est pas sur l'axe réel, j'aurais très bien pu définir un log d'un réel négatif. Dans ce cas mon erreur n'en est pas une mais je dois préciser que je travaille avec une généralisation du log défini de R dans C.

    Ce raisonnement est il correct pour une résolution d'équation différentielle ou y a-t-il quand même un problème lors de l'intégration ?

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    homotopie

    Re : logarithme complexe et equation différentielle

    Le raisonnement me semble tout à fait correct (en précisant que la demi-droite est issue de zéro, ou la comprend tout du moins, je suppose que c'est un simple oubli dans l'écriture, autre précision : extension de ln de R privé d'une droite dans C si on veut jouer avec ça il faut être très précis).
    Une manière de le voir est tant que y ne prend que ses valeurs dans cet ouvert de C, on peut définir un logarithme de y, y=exp(z), localement exp est un difféomorphisme analytique donc z est aussi régulière que y.
    Maintenant, y'(t)+y(t)=exp(z)[z'(t)+B]=0 donc, exp ne s'annule jamais, l'équation est équivalente à z'(t)+B=0 et z(t)=-B.t+cte., finalement y(t)=exp(-Bt+cte) cte qui est déterminée par le choix précédent de la définition du logarithme. (t peut être une variable complexe ou réelle)
    C'est quand même très compliquée comme voie (surtout pour revenir sur ses pattes quand y est réel, et donc t aussi y'(t) n'existe ps sinon, et négatif ).

  4. #3
    gatsu

    Re : logarithme complexe et equation différentielle

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    C'est quand même très compliquée comme voie (surtout pour revenir sur ses pattes quand y est réel, et donc t aussi y'(t) n'existe ps sinon, et négatif ).
    Ba l'idée de départ est d'éviter d'une part de me discediter vis à vis des étudiants et d'autre part de savoir si fondamentalement j'avais fait une erreur ou pas. Etant donné que je n'avais rien précisé lors de la résolution sur l'espace dans lequel on cherchait les solutions, je me suis dit que la résolution la plus générale se ferait dans C et ferait donc intervenir un log complexe (dont la définition est à préciser notamment du point de vue de l'orientation de la ligne de branchement) mais pas de valeur absolue...c'est une pirouhette un peu malhonnette je le concède .

    extension de ln de R privé d'une droite dans C si on veut jouer avec ça il faut être très précis
    J'avoue ne pas avoir bien saisi cette partie de la réponse. Comment est ce qu'on prive R d'une droite ?

  5. #4
    indian58

    Re : logarithme complexe et equation différentielle

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    J'avoue ne pas avoir bien saisi cette partie de la réponse. Comment est ce qu'on prive R d'une droite ?
    Il veut dire: extension du log de R dans C privé d'une demi-droite.

  6. #5
    homotopie

    Re : logarithme complexe et equation différentielle

    Citation Envoyé par gatsu Voir le message
    J'avoue ne pas avoir bien saisi cette partie de la réponse. Comment est ce qu'on prive R d'une droite ?


    ...

    Mais si ! On définit une application partant de l'ensemble vide (c'est plus simple à définir).


    Indian58 a corrigé heureusement.

  7. A voir en vidéo sur Futura

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