TS: fonction continue

[invitee262714d]

f est une fonction continue sur IR. et lim(en +∞)f=lim(en -∞)f=0
montrer que f est bornée sur R.
voila ce que jai pu faire: par definition on a :
il existe un A>0 tel que (x>A=>-ε<f<ε) et (x<-A=>-ε<f<ε)
donc f est bornée pour x dans ]-∞,-A[ U ]A,+∞[.
pour x dans ]-A,A[
f est continue donc lim(en a)f=f(a) encore par definition on aura
-ε+f(a)<f(x)<ε+f(a).
mnt est ce que de tt ca je peux en deduire que f est bornée ou ca dependrait de f(a).
jespère que jai pu passer mon idée et je vous remercie de me repondre.
safae
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[invite7ffe9b6a]

Dans ]-A;A[ ,

la fonction est continue sur un intervalle fermé donc bornée.
Elle admet donc un maximum(M1) et un minimum(M2) sur cette intervalle du coup
si on pose
M le maximum de (0,M1,M2)
on a



donc f est bornée.

[invitee625533c]

La difficulté comme tu l'as senti est de justifier que la fonction continue f est bornée sur un segment fermé .
Or cela est de niveau math-sup où on démontre qu'une fct continue sur un compact est bornée et que les intervalles de type sont des compacts...( la notion de compacité n'est pas au programme de TS).
Si l'on admet au niveau TS qu'une fct continue est bornée sur les intervalles de type , l'"intérêt" et la difficulté de l'exercice résiderait seulement dans le fait de montrer que f est bornée au voisinage de et de , chose que tu as bien faite au début de ta démonstration (mets pour traiter et en même temps ).
Sinon je ne comprends pas ce que votre prof attend de vous.

[invitee262714d]

merci Antho07

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffe9b6a]

La difficulté comme tu l'as senti est de justifier que la fonction continue f est bornée sur un segment fermé .
Or cela est de niveau math-sup où on démontre qu'une fct continue sur un compact est bornée et que les intervalles de type sont des compacts...( la notion de compacité n'est pas au programme de TS).
Si l'on admet au niveau TS qu'une fct continue est bornée sur les intervalles de type , l'"intérêt" et la difficulté de l'exercice résiderait seulement dans le fait de montrer que f est bornée au voisinage de et de , chose que tu as bien faite au début de ta démonstration (mets pour traiter et en même temps ).
Sinon je ne comprends pas ce que votre prof attend de vous.

Je suis passé par une sup et je n'ai jamais entendu parlé de compacité.
C'est quoi en faite?


Pour ce que le prof attendait, c'etait justement de voir que c'etait borné sur un intervalle fermé , d'y penser

[invitee625533c]

je veux dire

[invitee625533c]

|x|>A (décidemment!)

[invite7ffe9b6a]

Peux tu si cela ne te dérange pas me dire en deux mots ce qu'est un ensemble compacte???

Je suppose que c'est un notion de topologie

[invitee262714d]

|x|>A (décidemment!)

merci pour le conseil !
et je crois que le but etait d'appliquer le théorème qui dit que par une fonction continue l'image dun segment est un segment.

[invite7ffe9b6a]

Théorème des bornes atteintes je crois non???

[invitee262714d]

Théorème des bornes atteintes je crois non???

je sais pas franchement la traduction de l'arabe en francais me pose un peu problème mais je crois que cest ca!

[invitee625533c]

- l'image d'un interballe par une fonction continue est un intervalle:c'est le théorème des valeurs intérmédiaires en TS (en topologie l'image continue d'un connexe est un connexe);
- l'image d'un interballe fermé borné [a;b] par une fonction continue est un intervalle fermé borné [inf-de-f;sup-de-f] (en topologie l'image continue d'un compact est un comact);
ce sont deux notions différentes je crois.

[invite57fa3fa9]

Pour répondre à cette question on va diviser IR en 3 partie]-°°,B] , [B ,A] et [A ,+°°[ et on montre que f est borné sur chacune.

on a limite de f en -°° =0 quelque soit d>0 il existe B<0 tel que quelque soit x<B on a|f(x)|<d (d=epsilon)
Donc f est borné sur]-°°,B]

on a limte de f en +°° =0 quelque soit d>0 il existe A>0 tel que quelque soit x>A on a |f(x)|<d (d=epsilon)
donc f est borné sur [A,+°°[

on a f est continu sur IR en particulier sur [B,A] d'après le théorème de Heine f est borné et atteint ses born donc il existe M>0 telque quelque soit x dans [B,A] |f(x)|<M
Donc f est borné sur [b, A]

Conclusion : quelque soit x dans IR |f(x)|<max (M,d) donc f est borné ;

THEOREME DE HEINE tote fonction f continu sur un compact (les intervalles fermé dans IR) ALORS f est borné et atteint ces borne

cette exercice théorique est tré utilisable en pratique par exemple pour montre que la fonction f:]0,+°°[ -->IR ; x--> (exp(-x)-1)/x est borné
il suffit de dire que f est continu sur ]0,+°°[ et a un limite en 0 et en +°°.

Bon courage

[invitee625533c]

THEOREME DE HEINE tote fonction f continu sur un compact (les intervalles fermé dans IR) ALORS f est borné et atteint ces borne

...un compact (les intervalles fermés bornés dans IR)...

[invite57fa3fa9]

je dit bien dans IR
serait une fote si j'ai parler d'un autre espace vectorielle de dimension fini

[invitee625533c]

est un fermé de mais ce n'est pas un compact .