Intégrale multiple et fonction continue

[inviteab2b41c6]

Salut,
j'ai un petit problème assez bete, mais pourtant ca me bloque, et c'est assez important pour la suite d'un raisonnement que je dois tenir:

Voila, j'ai une fonction f Cinfinie définie sur un ouvert U de R^n, telle que son intégrale soit nulle sur U.
En fait, je me demandais, si forcément, il existait un X de R^n, tel que f(X)=0.

Je pense que oui, mais ca ne me semble pas aussi trivial que dans le cas réel.
Notamment, on ne peut pas utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, du moins pas directement...

En fait j'avais pensé que c'était vrai, en vertue du théorème de Tonelli(celui qu'on appelle usuellement théorème de Fubini). Qu'en pensez vous?
Merci
A+
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[invitec314d025]

Je vois pas bien le rapport avec Fubini (qui ne marche que sur un pavé en plus, non ?)
Pour moi la question est plutôt la connexité de ton ouvert U. L'image continue d'un connexe est un connexe, ce qui généralise le théorème des valeurs intermédiaires pour toute fonction à valeurs dans IR. (Les connexes de IR étant exactement les intervalles)

[inviteab2b41c6]

Salut,
en fait un corollaire du théorème affirme que l'intégrale multiple d'une fonction est égale à l'intégrale de l'intégrale de la fonction, moyennant un bon caclcul des bornes.

Je pensais justement m'en tirer avec ca.

En fait, je dois montrer que si j'ai une variété compacte et orienté M de dimension n, et que j'ai une n-1 forme w, sur M, alors dw=0 pour au moins un p de M.
J'ai pensé au théorème de Stokes, qui dit que dans un tel cas, l'intégrale sur M de dw=0.

Notamment, je pensais montrer le résultat en prenant w une forme a support compact d'un ouvert U de R^n.
Dans ce cas, on est ramené à intégrer la somme des (-1)^(j-1)*daj/xj
ou w= somme des ajdx1^dx2^...^dxn ou il manque le terme dxj

Dans le cas ou w est C infinie, aj est C infinie, par définition, et donc les dérivées partielles daj/dxj le sont également et par suite, c'est le cas de
f=somme des (-1)^(j-1)daj/dxj.

Par suite j'intègre, et c'est la que j'avais besoin du résultat énoncé.
Notamment, je pense que U est sous entendu connexe dans les hypothèses, sinon le résultat me semble faux de toute manière....
Mais peut etre que pour utiliser le résultat que je souhaite, il faudrait meme que U soit convexe ?

J'ai peu d'etre mal parti finalement....

[invitec314d025]

J'ai du mal à voir l'utilité de la convexité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab2b41c6]

La convexité m'aurai permis d'avoir la connexité sur tous les segments.

Mettons que j'ai une sorte de domaine U qui ressemble à une banane. Il est connexe sans problème (c'est un domaine...) mais si j'intègre ma fonction par tranche sur ce domaine, je risque d'avoir des problème non?

En tout cas, c'est pas grave... est ce que le résultat de départ est juste dans le cas ou mon ouvert est en plus connexe?
En fait je pense que lorsque l'on définie f comme fonction dérivable sur U, il est sous entendu que U soit connexe non? Mon prof de prépa nous disait ca...

[invitec314d025]

La convexité m'aurai permis d'avoir la connexité sur tous les segments.

Mettons que j'ai une sorte de domaine U qui ressemble à une banane. Il est connexe sans problème (c'est un domaine...) mais si j'intègre ma fonction par tranche sur ce domaine, je risque d'avoir des problème non?

Déjà si le domaine est étoilé par rapport à un de ses points, ça doit résoudre ton problème. Connexe par arc doit pouvoir marcher aussi. Ma prépa est déjà loin, mais dans IRⁿ, les connexes sont tous connexes par arcs non ?

En tout cas, c'est pas grave... est ce que le résultat de départ est juste dans le cas ou mon ouvert est en plus connexe?

Si par résultat de départ tu entends qui'l existe un X tel que f(X) = 0, je dirai oui, puisque f doit avoir des valeurs positives et négatives, et donc que f(U) est un intervalle contenant 0.

En fait je pense que lorsque l'on définie f comme fonction dérivable sur U, il est sous entendu que U soit connexe non? Mon prof de prépa nous disait ca...

x -> 1/x est dérivable sur IR^* sans que IR^* soit connexe. Je vois mal pourquoi ce serait différent dans IRⁿ. Par contre dans mes cours de prépa, les intégrales multiples sont définies sur des domaines quarrables, ça me paraît assez restrictif ... Je pense que c'était surtout pour simplifier.

[invite4793db90]

Ma prépa est déjà loin, mais dans IRⁿ, les connexes sont tous connexes par arcs non ?

Salut,

en fait non, la connexité par arc est plus forte que la connexité.

Un contre-exemple (le seul que je connaisse): considère le graphe G de la fonction x->sin(1/x) dans R². G est connexe par arc donc connexe. L'adhérence de G est donc connexe. Or l'adhérence de G n'est autre que G U {0}x[-1,1] qui n'est pas connexe par arc.

Par contre dans Rⁿ, un ouvert connexe est connexe par arc.

Cordialement.

[invitec314d025]

Ah oui merci.
Bel exemple, je le connaissais pas.

[invitec314d025]

Juste un détail, pour que G soit connexe par arcs, il faut imposer x>0 ou x<0, non ?
Au fait, les espaces dans lesquels les connexes sont exactement les connexes par arcs (genre IR), ça porte un nom ?

[invite4793db90]

Juste un détail, pour que G soit connexe par arcs, il faut imposer x>0 ou x<0, non ?

Oui, j'ai oublié ce détail, je voulais parler du graphe dans {x>0} (mais ça marche aussi dans {x<0}).

Au fait, les espaces dans lesquels les connexes sont exactement les connexes par arcs (genre IR), ça porte un nom ?

Espace connexe par arc?
Nan, j'en sais rien.

[invite4793db90]

Au fait, les espaces dans lesquels les connexes sont exactement les connexes par arcs (genre IR), ça porte un nom ?

Juste une question: dans l'ensemble triadique de Cantor qui hérite de la topologie de IR, quels sont les ouverts et les fermés? :confused:

J'aurais tendance à dire que les fermés sont les réunions finis de points et que cette ensemble est connexe, mais bon...

[invitec314d025]

Si tu appelles E ton sous-ensemble de IR (ici l'ensemble triadique de Cantor), U est un fermé relatif de E si il existe V fermé de IR tel que U = intersection de V et E.
Je ne vois donc pas pourquoi les fermés relatifs de E seraient de cardinal fini.

[invite4793db90]

Si tu appelles E ton sous-ensemble de IR (ici l'ensemble triadique de Cantor), U est un fermé relatif de E si il existe V fermé de IR tel que U = intersection de V et E.
Je ne vois donc pas pourquoi les fermés relatifs de E seraient de cardinal fini.

Oui, tu as raison.

Du coup pour a<b dans R\E, les ensemble ]a,b[ inter E et [a,b] inter E sont égaux: E n'est pas connexe.

Merci.

[inviteab2b41c6]

Salut,
mais alors, que penser du résultat:

"Soit M une variété compacte et orientée sans bord, de dimension n, et w une forme Cinfinie sur M, alors il existe p tel que dw(p)=0"

Je me demande si c'est vrai sans supposer que M est connexe.

[invite8f53295a]

Si c'est vraie quand elle est connexe, ça l'est aussi quand elle ne l'est pas : on regarde la restriction de ta forme à une composante connexe. Si ça t'aide tu peux donc te restreindre à une composante connexe.

[inviteab2b41c6]

Salut, c'était mon idée de départ, mais j'étais bloqué parce que je me disais que sur les composantes ca allait peut etre ne pas s'annuler, mais qu'elles allaient "globalement" se compenser. Finalement non, on peut en fait utiliser le théorème de Stokes sur chacune des composantes connexes
Merci beaucoup

[invite4793db90]

Quinto,

tu peux nous tenir au courant s'il y a une autre méthode, stp?

Cordialement.

[inviteab2b41c6]

Promis Mais vu que tu as le sujet, tu pourras y réflchir de ton coté...

Sinon, je me demandais si on pouvait dire que les composantes connexes Ci de M étaient des sous variétés de M? Sinon je ne vois pas comment utiliser le théorème de Stokes.
Notamment, je me demande si la restriction d'une fonction continue à un connexe est continue sur ce connexe. (n'ayant jamais étudier la connexité j'ai du mal à visualiser ce qui se passe dans mon devoir....) Ca me semble intuitif que oui, mais bon...

[invitee65b1c3d]

Si f est une fonction de X dans Y et que Z est une partie de X, alors la restriction de f à Z est continue (pour la topologie trace).

On le montre de la façon suivante :
f est continue signifie que .
On note g la restriction de f à Z.
Soit O un ouvert de Y, alors , or, comme est ouvert car f est continue, par définition de la topologie trace est ouvert.
Donc g est continue.

Bref, la restriction d'une fonction continue est continue.

[invite8eed16c3]

slt a tous ,je bloque sur les bornes des intégrales multiples jarrive po à les identifier à partir du dessin plzzzzzzzzz aidez moi