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Démontrer que la Fonction est continue




  1. #1
    benoir126

    Démontrer que la Fonction est continue

    Bonjour,
    voici un exercice d'examen final. J'ai un peu de mal à comment démontrer si une fonction est continue

    soit un ensemble U,
    soit une fonction f: U --> U et une fonction
    F:P(U) --> P(U) (P(U) l'ensemble des parties de U)telle que
    F(X)={x∈U|f(x)∈X}
    Alors Démontrer que F est continue.

    Merci d'avance.







    Est-ce que quelqu'un aurait une idée?

    -----


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  3. #2
    GuYem

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Salut,

    Pour démontrer que F : P(U) -> P(U) est continue, il faut une topologie sur P(U). Quelle topologie est utilisée ici ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  4. #3
    benoir126

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Salut,

    Pour démontrer que F : P(U) -> P(U) est continue, il faut une topologie sur P(U). Quelle topologie est utilisée ici ?
    salut GuYem
    ben..., tous les info sont ici.


  5. #4
    monsieurab

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Bonjour,
    je reprends simplement une définition que j'ai sous les yeux :

    une fonction f:X->Y est continue si l'image inverse d'un ouvert de Y est un ouvert de X, où X et Y sont tous les deux des espaces topologiques.

  6. #5
    GuYem

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Citation Envoyé par monsieurab Voir le message
    Bonjour,
    je reprends simplement une définition que j'ai sous les yeux :

    une fonction f:X->Y est continue si l'image inverse d'un ouvert de Y est un ouvert de X, où X et Y sont tous les deux des espaces topologiques.
    Oui, donc il faut une topologie sur P(U) pour parler de continuité ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    GuYem

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Je remonte ce sujet car il me parait intéressant. J'ai rarement vu des topologies sur P(U), quelqu'un a une idée de ce que l'on pourrait mettre ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  9. #7
    benoir126

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Est-ce que quelqu'un aurait une idée,s'il vous plait.

  10. Publicité
  11. #8
    GuYem

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Salut,

    Je crois qu'il faudrait reprendre un peu les choses : tu peux nous donner la définition d'une fonction continue avec laquelle tu travailles ?
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  12. #9
    benoir126

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Salut,
    Un opérateur P monotone est continu si pour toute suite croissante (En),n>=0 de parties de X, on a:

    p(U En) = U p(En) ,n>=0, U-->union

  13. #10
    GuYem

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Ah, on commence à y voir plus clair !

    Il manque juste la définition de monotone maintenant. Mais je pense qu'on doit pouvoir y arriver avec juste cela.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  14. #11
    Médiat

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Citation Envoyé par benoir126 Voir le message
    p(U En) = U p(En) ,n>=0, U-->union
    Quelque chose doit m'échapper, mais j'ai l'impression que l'égalité précédente est une conséquence de la définition de l'union et n'a rien à voir avec la continuité de la fonction sous-jacente.
    D'ailleurs comme rien n'est précisé sur la topologie de départ, il suffit de considérer la topologie discrète sur U pour que toutes les fonctions de U dans U soient continues...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    GuYem

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Tu as raison Mediat, il me semble que cette égalité d'ensemble est vérifiée pour toute fonction !

    Peut-être que toute la subtilité réside dans le "monotone" ...
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  16. #13
    homotopie

    Re : Démontrer que la Fonction est continue

    Citation Envoyé par GuYem Voir le message
    Tu as raison Mediat, il me semble que cette égalité d'ensemble est vérifiée pour toute fonction !
    Bonjour,
    oui mais pas par n'importe quel opérateur qui je suppose est définie sur P(ensemble) et non par le biais d'une application définie sur cet ensemble (écrit en toute lettre car 1er post c'est U pour devenir X ensuite)
    1er résultat (qui devrait clarifier) : si f est une fonction sur un ensemble E alors P(f) est continue dans le sens précédent (qu'il soit monotone est assez trivial).

    Pour revenir à la question initiale et avec la précision apportée, F qui n'est rien d'autre que le des parties d'un ensemble es-il un opérateur monotone ? clairement oui si X est inclus dans Y F(X) est inclus dans F(Y)
    F est-il continu selon la définition donnée (dont le caractère dénombrable me trouble), par double inclusion on montre faciment que oui.

    Cordialement

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