démontrer que f(x)=k possède 1 seule solution si f continue et monotone....

[invited436cae9]

Bonjour , comment prouveriez vous que si f est une fonction continue strictement monotone sur [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f(x) = k a une solution unique dans [a ; b] ?
(oui , c'est une ROC pour le bac)

Et il y a un petit truc qui m'embête avec cette démonstration :
f étant continue et monotone , ne pourrait elle pas être constante ?
l'équation f(x) = k aurait alors une infinité de solutions , non ?
Peut être monotone veut dire strictement croissante ou décroissante ?

Si vous pouviez m'aider pour démonter ce théorème , ce serait sympa.
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[invite10c91cbe]

Si je me souviens bien la démonstration exigée au bac se fait à partir du théorème des valeurs intermédiaires ....
(je ne suis pas sûr)

PS: je poste sur le compte de mon frère

[invitec314d025]

Et il y a un petit truc qui m'embête avec cette démonstration :
f étant continue et monotone , ne pourrait elle pas être constante ?
l'équation f(x) = k aurait alors une infinité de solutions , non ?
Peut être monotone veut dire strictement croissante ou décroissante ?

Tu as mis toi-même dans ton énoncé: "strictement monotone"

[BioBen]

Peut être monotone veut dire strictement croissante ou décroissante ?

On dit que f est (strictement) monotone sur I si elle est (strictement) croissante [ou (strictement) décroissante] sur I.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec7b3f097]

*Existence:
On construit deux suites adjacentes qui tendent vers c tq f(c)=k.

*Unicité: A cause de la monotonie.

[invite9c9b9968]

Dites, juste comme ça, c'est un corollaire bête et méchant du théorème des valeurs intermédiaires ça : ayant [a;b] intervalle, f([a;b]) est un intervalle (TVI) car f continue, donc en particulier l'on a [f(a);f(b)] inclu dans f([a;b]). Donc si k est dans [f(a);f(b)], il existe nécessairement un x dans [a;b] tel que f(x)=k.

Pour l'unicité, comme l'a dit Lord, cela découle de la stricte monotonie.

[invite39dcaf7a]

'lu,

Il ne faut pas confondre le théorème de la bijection où il n'y a pas de problème puisqu'à une image correspond un seul antécédent et le théorème des valeurs intermédiaires : pour ce dernier théorème, on peut rajouter "sauf en des points isolés" s'il n'y a pas de stricte monotonie.

[invitea77054e9]

Puisqu'on parle de fonction strictement monotone, (et pour éviter d'ouvrir un nouveau post ), je me demandais comment démontrer qu'une fonction strictement monotone de lR dans lR admet un nombre de discontinuités au plus dénombrable. Si quelqu'un a une idée, ça m'aiderait bien.
Merci d'avance.

[inviteab2b41c6]

Pour démontrer que l'ensemble est de mesure nulle, ca se fait bien en passant par une somme de Riemann.
Pour montrer que c'est dénombrable, je ne sais pas trop, mais ca doit pas être tellement différent.
A+

[invitec7b3f097]

Donc si k est dans [f(a);f(b)], il existe nécessairement un x dans [a;b] tel que f(x)=k.

Et tu le prouves comment ça ?

[invite9c9b9968]

Ben déf d'un intervalle I : pour tout a b dans I , le segment [a;b] est inclu dans I

Et après TVI, je crois avoir été clair ...

[inviteaeeb6d8b]

Pour l'unicité :

j'ai montré qu'il existe c dans [a;b] tel que f(c)=k
je suppose qu'il existe c' dans [a;b], tel que f(c')=k
et je montre que c'=c

[invite6acfe16b]

Puisqu'on parle de fonction strictement monotone, (et pour éviter d'ouvrir un nouveau post ), je me demandais comment démontrer qu'une fonction strictement monotone de lR dans lR admet un nombre de discontinuités au plus dénombrable. Si quelqu'un a une idée, ça m'aiderait bien.
Merci d'avance.

Salut,

J'ai du répondre à cette question dans un cours de logique que j'ai suivi il y a quelque temps. J'avais passé beaucoup de temps avant de trouver la bonne idée. Voici comment j'avais fait.

Tout d'abord on remarque que toutes les limites de la forme et sont définies à cause de la monotonie de la fonction f.

Ensuite, on définit l'ensemble E des points de discontinuités par .

On a alors une application telle que .

Les couples (b,c) qui sont dans l'image de g sont les bords d'une familles d'intervalles disjoints inclus dans . Il suffit maintenant de montrer que ceci n'est possible que si E est au plus dénombrable. Ce que je ne démontre pas puisqu'il ne faut pas gacher tout le plaisir.

A bientôt

[invitee65b1c3d]

On a alors une application telle que .

Les couples (b,c) qui sont dans l'image de g sont les bords d'une familles d'intervalles disjoints inclus dans . Il suffit maintenant de montrer que ceci n'est possible que si E est au plus dénombrable. Ce que je ne démontre pas puisqu'il ne faut pas gacher tout le plaisir.

A bientôt

Je l'ai vu par une méthode légèrement différente, on considérait la fonction telle que :


On montre ensuite que E est une union dénombrable de familles sommables (donc dénombrable).

[invite6acfe16b]

Je l'ai vu par une méthode légèrement différente, on considérait la fonction telle que :


On montre ensuite que E est une union dénombrable de familles sommables (donc dénombrable).

J'aimerais bien comprendre cette solution, mais je ne connais pas le terme "famille sommable". Qu'est-ce que c'est dans notre contexte ?

Merci

[invitee65b1c3d]

J'aimerais bien comprendre cette solution, mais je ne connais pas le terme "famille sommable". Qu'est-ce que c'est dans notre contexte ?

Merci

C'est dans le sens classique.
Un exemple de définition :
http://www.les-mathematiques.net/a/a/t/node13.php3

Mais on est plus intéressé par le cas des réels positifs (cas dans lequel la définition peut être grandement simplifiée) : http://fr.wikipedia.org/wiki/Famille_sommable

L'idée de la démonstration est que si on considère l'ensemble , l'ensemble des pour fini est borné par f(b)-f(a).
C'est donc une famille sommable.

On utilise alors la "proposition" du premier lien pour montrer que est dénombrable.

[invite6acfe16b]

On utilise alors la "proposition" du premier lien pour montrer que est dénombrable.

Merci pour cette idée, c'est très intéressant.