Démontrer qu'une fonction est injective ...

[Bleyblue]

Bonjour,

Je dois démontrer que f(x) = 2x + cos x est injective.

Si je pose x1 = x2 +k avec k réel différent de zéro j'ai :

y1 = 2x1 + cos x1
y2 = 2x2 + cos x2

donc si on suppose que y1 = y2 (ce qui est faux étant donné que la fonction de départ est injective) on a :

2x1 + cos x1 = 2x2 +cos x2

2k + cos (x2 + k) = cos x2

L'image du memebre de droite est [2k -1, 2k + 1] et celle du membre de gauche [-1,1]

Donc si les fonctions sont identiques je peux supposer que les images doivent être les même non ?
Dans ce cas j'ai 2k - 1 = -1 (et donc k = 0 ce qui est impossible)

Pensez-vous que ce soit valide ? Moi la dernière étape de mon raisonnement me semble bizarre ...

merci
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[invitebf65f07b]

étant donné que ta fonction est continue, je regarderais plutôt du coté de sa monotonie.

PS : j'ai pas bien saisi ce que tu proposes, mais comme il ya plus simple....

[Bleyblue]

La monotonie c'est à dire la croissance/décroissance ?
Si c'est ça et bien:

f' = 2 - sin x et comme l'image de la fonction sin est comprise entre -1 et 1 et bien f' est > 0 pour tout x etla fonction croit partout.

Ca suffit pour affirmer qu'elle est injective ?

merci

[invitea77054e9]

La monotonie c'est à dire la croissance/décroissance ?
Si c'est ça et bien:

f' = 2 - sin x et comme l'image de la fonction sin est comprise entre -1 et 1 et bien f' est > 0 pour tout x etla fonction croit partout.

Ca suffit pour affirmer qu'elle est injective ?

merci

Attention, la croissance ne permet pas de conclure à l'injectivité, il faut parler de croissance stricte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

C'est quoi donc la croissance stricte ? Ca veut dire qu'elle croit partout sur son domaine ? C'est ce que je viens de montrer non ?

merci

[invitedf667161]

La croissance stricte se déduit de la stricte positivité de f. (donc tu l'as montré)

Attention par contre il se peut que la dérivée s'annule et que la croissance soit stricte quand même. : x->x^3

[invitea77054e9]

En fait, je voulais simplement faire remarquer que le terme "strict" n'avait pas été employé, et c'est le genre d'oubli qui peut coûter cher en examen.

Sinon, on dit qu'une fonction est strictement croissante, si elle croit et si elle n'est pas constante sur son domaine de définition.
Par exemple:
x->x est strictement croissante sur lR
x->2 est croissante mais non strictement sur lR
x-> 1 si x<0 et x si x>=0 est croissante mais non strictement, par contre sa restriction à [0;+oo[ est strictement croissante.

[Bleyblue]

Ah oui.
Mais alors une croissance non stricte ça se déduit de la "non stricte positivité" de f' ?

Donc par exemple f(x) = x² -> f'= 2x et elle ne croit que sur ] 0, + oo [ ...

EDIT :

En fait, je voulais simplement faire remarquer que le terme "strict" n'avait pas été employé, et c'est le genre d'oubli qui peut coûter cher en examen.

Ah bon. J'aurais du dire "f' est strictement croissante donc f est injective" ?
Mais ce n'est pas malin d'enlever des points pour ça car j'ai bien précisé que f' était positive pour tout réel x ...

merci

[invite00f8a27b]

ben c simple essaye de montrer que ta fonction est bijective cad tu montre strictement décroissante (resp croissante ) et qu'il existe un c appartien a un intervalle ouvert tel que f(c)=0 et voila
merci

[inviteaf1870ed]

Bonjour,

2k + cos (x2 + k) = cos x2

L'image du memebre de droite est [2k -1, 2k + 1] et celle du membre de gauche [-1,1]

Donc si les fonctions sont identiques je peux supposer que les images doivent être les même non ?
Dans ce cas j'ai 2k - 1 = -1 (et donc k = 0 ce qui est impossible)

Pensez-vous que ce soit valide ? Moi la dernière étape de mon raisonnement me semble bizarre ...

merci

Attention tu fais une erreur de raisonnement : pour montrer l'injectivité d'une fonction f, on suppose qu'il existe deux nombres x₁ et x₂ tels que f(x₁)=f(x₂), et on montre que cela implique x₁=x₂.

Tu fais la fin de ton raisonnement sur l'identité de deux fonctions (c'est à dire pour toutes les valeurs de la variable), or on cherche simplement UNE valuer où il y a l'égalité.

De toutes façons, la meilleure méthode est effectivement d'appliquer le théorème qui dit qu'une fonction strictement monotone est injective.

[Bleyblue]

Oulà, c'est une question que j'ai posée il y a plus d'un an ça

Enfin, merci quand même !

EDIT : Manifestement vous avez avez oublié de regarder la date à laquelle j'ai ouvert le topic

[invitecc7a9753]

La dérivée est >= 1 donc la fct est strictement croissante donc injective.
Dans ton raisonnement, ce que je ne suis pas bien c'est ta transformation de cos(x_1) - cos(x_2).