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Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives



  1. #1
    Bleyblue

    Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives


    ------

    Bonjour,

    Petite curiosité de ma part :
    Est ce que quelqu'un sait comment faire pour démontrer qu'une certaine fonction f(x) n'admet pas de primitives (on suppose f(x) connue bien évidemment) ?
    Je sais que c'est faisable (on peut même démontrer qu'on ne connaitra jamais de primitives pour certaines fonctions)

    Ex : e^(x)/x n'admet aucune primitives.

    Par contre, je ne suis pas sûr de pouvoir comprendre la démo étant donné que mon niveau en math n'est pas (encore) très poussé (pour le moment cela se limite aux intégrales généralisées, dérivées partielles, nombres complexes, fonctions hyperboliques, périodiques, exponentielles & logarithmiques, etc ... ainsi que des notions de proba et de stat)

    Merci

    Zazeglu

    -----

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  3. #2
    space-kro

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    salut,

    juste une petite précision, quand tu dis "n'admet aucune primitive" tu sous ententd "exprimable avec les fonctions usuelles " ?

    Sinon je comprend pas trop ce que se passe ...parce que la primitive nulle au point a de exp(x)/x c'est : int(exp(t)/t dt,a,x) sur les bons intervalles.

  4. #3
    Quinto

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Citation Envoyé par Zazeglu
    Bonjour,

    Ex : e^(x)/x n'admet aucune primitives.
    Pour ce qui est de ceci, c'est faux.
    Cette fonction admet une primitive.
    D'ailleurs une fonction admet une primitive sur un intervalle I si et seulement si la fonction est continue sur I.

    Ce que tu cherches c'est savoir si une fonction admet une primitive que l'on peut exprimer à l'aide des fonctions usuelles.

    Pour montrer ceci, je ne sais pas le faire, mais j'ai posé la meme question il y'a peu, et on m'avait répondu que cela se faisait bien avec la théorie de Galois et des équations algébriques...

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Ce que tu cherches c'est savoir si une fonction admet une primitive que l'on peut exprimer à l'aide des fonctions usuelles.
    Oui c'est bien ce que je voudrait savoir, pardon pour l'impécision

    Pour montrer ceci, je ne sais pas le faire, mais j'ai posé la meme question il y'a peu, et on m'avait répondu que cela se faisait bien avec la théorie de Galois et des équations algébriques...
    Je vais aller voir, mais je suppose que si tu n'y es pas arrivé je n'y arriverais pas non plus

    Merci

    Zazeglu

  6. #5
    ulrich richarovitch

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    [QUOTE=Zazeglu]







    En fonction usuelle ,tu as que donc,tu deduis que:

    ce qui constitue ta


    primitive de et celle-ci s'exprime bien evidemment en fonction de

    fonctions usuelles.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Sharp

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Ulrich, j'ai comme l'impression qu'il manque la moitié de ton message... C'est peut-être mon ordi qui fait ça, mais en tous cas je ne comprends pas ton message!

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  10. #7
    µµtt

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Salut,


    C'est le théorème de Liouville, avatar de la théorie de Galois différentielle ..... Inutile de dire que c'est pas hyper-méga-triv'


    cf http://daphne.math.polytechnique.fr/...ch/algebre.pdf

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Oui, en fait, c'est carrément des mathématiques modernes, pas simple à comprendre

    Merci

    Zazeglu

  12. #9
    martini_bird

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Citation Envoyé par Zazeglu
    Oui, en fait, c'est carrément des mathématiques modernes, pas simple à comprendre

    Merci

    Zazeglu
    Salut,

    c'est pas des maths "modernes", c'est des maths! La théorie de Galois dite différentielle (concernant la transcendance de certaines fonctions sur un corps de fonctions donné) date du 19° siècle!

    L'exposé de Chambert-Loir est franchement intéressant, essaie de t'y plonger (bien sûr, avec d'autres refs pour ne pas te noyer).

  13. #10
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Ok je vais essayer

    Sinon c'est mon prof de math de l'année passée (de terminal je pense en France) disait que l'on n'était théoriquement pas capable de comprendre des maths d'après 1760 + ou - (en raison de nos maigres connaisances ) et évidemment, ce n'est pas le minuscule cours de math de médecine qui va arrange les choses

    Merci

    Zazeglu

  14. #11
    Sharp

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Salut,
    1760 ça me semble tôt quand même. A l'époque, les nombres complexes n'étaient pas bien compris et admis par les mathématiciens. Or on en étudie les bases en terminale (en tous cas en France).
    Je me trompe peut-être mais je ne crois pas!
    Dernière modification par Sharp ; 30/11/2004 à 15h36.

  15. #12
    Quinto

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    C'est vrai que c'est assez difficile car c'est au 18e et 19e siecle que l'on a réellement formalisé les maths que l'on connait aujourd'hui.
    Notamment en algèbre, il est pratiquement impossible d'en faire sans connaitre les structures algébriques, que l'on doit en premier lieu a Galois et à ses contemporains.

    Pour prendre l'exemple des complexes, une vraie définition rigoureuse est que c'est le corps de décomposition de x²+1 sur R. (c'est à dire le quotient de R[X] par l'idéal engendré par x²+1.
    Il en est justement question dans mon post portant sur l'algebre et les structures quotient.

    La différence majeure avec la définition de C telle qu'on la voit au lycée, est qu'au lycée, on nous dit que l'on peut rajouter un nombre a R, pour en construire des nouveaux et faire un gros ensemble. L'ennuie est que la légitimité de cette existence n'est pas établie. D'ailleurs beaucoup d'élèves (dont j'ai fait parti) ne comprennent pas pourquoi on aurait le droit de rajouter ce nombre, et pourquoi on le fait....

    Avec les maths "modernes", ceci est relativement facile de construire un tel ensemble...

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  17. #13
    martini_bird

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Citation Envoyé par Sharp
    Salut,
    1760 ça me semble tôt quand même. A l'époque, les nombres complexes n'étaient pas bien compris et admis par les mathématiciens. Or on en étudie les bases en terminale (en tous cas en France).
    Je me trompe peut-être mais je ne crois pas!
    Les mathématiques du 18° siècle sont vastes (moins que celles du 19° et encore moins que celles du 20°, à en juger par ma propre expérience). Mais le fait que les mathématiciens de l'époque ne disposaient pas d'une représentation claire des nombres complexes n'est pas une raison suffisante pour affirmer que leur vision des mathématiques n'était pas fine (cf. Bernoulli, Euler, Lagrange).

    Néanmoins, s'il s'agit de comprendre, celà peut prendre (beaucoup) de temps, mais tout le monde en est capable.

  18. #14
    µµtt

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Citation Envoyé par Quinto
    Pour prendre l'exemple des complexes, une vraie définition rigoureuse est que c'est le corps de décomposition de x²+1 sur R. ...
    C'est pas la seule façon de faire.

    La première que j'ai vue (dans un bouquin de terminal C, des années 70-80 je crois) était de définir C comme un corps isomorphe aux matrices 2x2 anti-symétriques !! Faut le faire .....

    La façon de faire la plus naturelle est, je trouve, de munir R² de lois '+' et '*' (avec (a,b)*(x,y) = (ax-by,ay+bx))).
    En plus ça s'adapte au poil au cas général d'extension quadratique sur un anneau unitaire commutatif

  19. #15
    Quinto

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Je crois qu'à l'époque où on voyait les matrices, c'est meme ainsi que l'on définissait C.

    En fait je prefere ces methodes la, parce que je m'étais toujours demandé pourquoi on prenait ces lois la plutot que d'autres. En passant par les structures quotient ca devient vraiment limpide...

  20. #16
    ulrich richarovitch

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Citation Envoyé par Quinto
    Je crois qu'à l'époque où on voyait les matrices, c'est meme ainsi que l'on définissait C.

    En fait je prefere ces methodes la, parce que je m'étais toujours demandé pourquoi on prenait ces lois la plutot que d'autres. En passant par les structures quotient ca devient vraiment limpide...
    j'ai fait une décomposition de e^x/x en série entiere et j'en déduit la primitive qui s'exprime en fonctions usuelles.

  21. #17
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    ah mais hé, on nous a dit que c'était impossible à faire au cours de math

    Il y a donc moyen d'y parvenir ?

    Merci

    Zazeglu

  22. #18
    Sharp

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Le problème (qui n'en est pas vraiment un), c'est que ça va te donner une somme infinie de fonctions, donc si tu veux calculer une intégrale, t'auras un peu demal!

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  24. #19
    Quinto

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Citation Envoyé par Sharp
    Le problème (qui n'en est pas vraiment un), c'est que ça va te donner une somme infinie de fonctions, donc si tu veux calculer une intégrale, t'auras un peu demal!
    En fait ceci n'est pas un probleme en général, on peut sous certaines condition intégrer terme a terme et en faire la somme, pour avoir l'integrale de la somme.
    Par exemple, lorsque les termes sont tous positif, cela est toujours possible.
    Ceci est du au théorème de la convergence monotone (ou théorème de Beppo-Levi) qui permet entre autre de permuter le signe somme et le signe intégral, lorsque la somme est infinie.(sous certaines conditions malgré tout, la suite doit etre monotone croissante et converger vers une fonction mesurable f)

    Note une chose, dans notre cas exp(x)/x ne se développe pas en série entiere, car cette fonction à tout de meme un pole en 0, donc ce que dit ulrich richarovitch est faux malgré tout.

    Sinon, ce que l'on appelle écrire une fonction en fonction des fonctions usuelles, suppose que l'on fasse ceci de maniere finie.

    Sinon ca n'a pas beaucoup d'interet.

    Ce qui a été fait s'appelle un développement en série entiere (ou DES)

  25. #20
    martini_bird

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Citation Envoyé par ulrich richarovitch
    j'ai fait une décomposition de e^x/x en série entiere et j'en déduit la primitive qui s'exprime en fonctions usuelles.
    Salut,
    tu veux dire que tu as un développement en série de puissances de exp(x)/x. En revanche, je doute que tu puisses retrouver une combinaison finie de fonctions usuelles.

  26. #21
    alekk

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    salut Quinto,
    en faite je ne comprend pas pourquoi "D'ailleurs une fonction admet une primitive sur un intervalle I si et seulement si la fonction est continue sur I." Peut etre que je me trompe(ca fait longtemps que je n'ai pas relu mon cours de maths) mais une primitive de f est une fonction telle que F'=f. Si c'est bien cela la definition alors là je ne comprend pas du tout pourquoi il faut imposer f continue. Des dérivées discontinues il y en a plein.

    (sinon pour trouver à coup sûr des fonctions qui n'ont pas de primitive il suffit de prendre des fonction qui ne vérifie pas la propriété des fonction intermédiaires non ? c'est le theoreme de Darboux je crois)

  27. #22
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Ah bon, je n'ai jamais appris à faire ça moi, ça ne doit pas être évident ...
    Mais ça à l'aire chouette tout de même

    Merci

    Zazeglu

  28. #23
    alekk

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    alors est ce que ma definition de primitive est fausse ?

  29. #24
    Quinto

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Non, elle est juste et tu as raison, mais cependant, regarde ce qui se passe si tu intégres et redérives un telle fonction.
    En fait j'ai été un peu rapide, mais je ne considère pas les points "isolés" comme de "vraies" discontinuité.

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  31. #25
    Quinto

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    J'en arrivera à une question à propos de ce qui s'est dit plus haut:

    Si jamais on a un développement de notre fonction f en puissance de x (série de Laurent) sur un disque pointé en sa singularité (mettons 0), est ce que la dérivée de cette série sera la série des dérivées termes à terme?
    Comment peut on justifier ceci?

  32. #26
    BS

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Citation Envoyé par Quinto
    Comment peut on justifier ceci?
    En te plaçant sur des compacts de ton disque épointé ?

  33. #27
    Quinto

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    C'est ce que je me suis dit, mais si on intègre maintenant, est ce qu'on peut raccorder chacune des constantes sur mon disque pointé?
    J'imagine que oui, de par la connexité de mon disque pointé...

  34. #28
    BS

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Oui, les termes embêtants pour l'intégration sont bien sûr les termes en 1/z. Mais dans une dérivée ils ne peuvent pas intervenir.

  35. #29
    ulrich richarovitch

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Moi ,je crois qu'il le peuvent!

  36. #30
    BS

    Re : Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives

    Au risque de contredire la formule des résidus ?

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