Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 28 sur 28

Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...



  1. #1
    Bleyblue

    Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...


    ------

    Bonjour,

    Comment feriez-vous pour démontrer que l'équation :

    x101 + x51 + x - 1 = 0

    admet une et une seule racine réelle ?

    J'ai bien essayé de passer en revue les théorèmes que je connais voir un peu lequel je pourrais utiliser pour démontrer ça mais je ne vois pas du tout comment m'y prendre

    A la limite je me suis dit que si j'arrivais à montrer qu'il en existe UNE et qu'ensuite je montre que la fonction est injective ça pourrait aller mais je ne sais faire ni l'un ni l'autre ...

    Vous avez une indication à me donner ?

    merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    chris111

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Salut,
    Sauf erreur de ma part cette fonction f(x) qui est =0 est continue sur R, si la derivée strictement monotone, et que... alors tu as une seule et unique racine sur R
    Chris
    Patient est le pompier, car il commence à chaque fois en bas de l'échelle

  4. #3
    Coincoin

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Salut,
    Il faut voir que la dérivée a vraiment une bonne tête en fait. Elle s'étudie sans problème...
    Encore une victoire de Canard !

  5. #4
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    C'est vrai mais attendez il faut justifier le fait que f' soit monotone.

    J'essaie :

    f'(x) = 101x100 + 51x50 + 1

    donc si je pose t = x50

    f'(t) = 101t² + 51t + 1 (avec t > 0)

    et je n'ai qu'a montrer que f'(t) est > 0 pour tout t > 0 ?

  6. #5
    chris111

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Et le tour est joué
    Chris
    A+
    Patient est le pompier, car il commence à chaque fois en bas de l'échelle

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    kNz

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Je crois que ça va être dur..

  9. Publicité
  10. #7
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Oui mais si je prend f(x) = ex

    La dérivée est monotone (tjrs positive) aussi alors que pourtant 0 = ex n'admet aucune racine réelle.



    merci

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Bon évidemment on a une asymptote horizontale pour ex ce qui n'est pas possible avec le polynôme mais tout de même, moi ça ne me semble pas pertinent comme argument le fait que f' soit monotone (et maintenant que j'y pense, ce serait pas plutôt le fait que f' soit strictement positive ou strictement négative ? Parce que f' monotone on s'en fiche un peu ... )

    merci

  12. #9
    Coincoin

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Ce qu'il faut faire, c'est voir si c'est monotone, regarder de chaque côté de l'intervalle et voir si on n'a pas par exemple une valeur négative à gauche et une valeur positive à droite. Ensuite, si c'est continu, c'est gagné (théorème des valeurs intermédiaires).
    Au pire, tu peux diviser en plusieurs intervalle où c'est monotone si ça marche pas.
    Encore une victoire de Canard !

  13. #10
    chris111

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Dans mon 1er post, il y avait "et que... "
    il te reste donc a trouver un x tel que f(x)>0 et un autre tel f(x)<0
    Courage!

    Coincoin est d&#233;cidement le plus rapide -> "encore une victoire de Canard"
    Patient est le pompier, car il commence à chaque fois en bas de l'échelle

  14. #11
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Bon, j'ai pas bien comprit tout ce que vous dites ( ) mais vous m'avez donnez des id&#233;es alors j'ai essayer de pondre un raisonnement par moi m&#234;me :

    Si f(x) = x101 + x51 + x - 1

    f'(x) = 101x100 + 51x50 + 1

    comme f(-1) < 0, f(1) > 0 et f continue il existe c dans [-1,1] tel que f(c) = 0 donc on a montrer l'existence d'une racine.

    Maintenant je n'ai plus qu'a prouver f' monotone (comme j'ai commenc&#233; &#224; le faire dans mon message plus haut) et c'est bon

    Juste ?

    merci

  15. #12
    Coincoin

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Il faut que ça soit monotone sur R si tu veux que ça marche.

    Et généralement, plutôt que -1 et 1, on regarde les limites en moins et plus l'infini, comme ça on est sûr d'encadrer la racine. Mais bon, c'est un détail...
    Encore une victoire de Canard !

  16. Publicité
  17. #13
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Mais ici f' n'est pas monotone sur R (par monotone vous voulez bien dire croissante ou (exclusif) décroissante ?)

  18. #14
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Mince je me goure dans mes dénominations

    Il suffit que je prouve f' < 0 ou f' > 0 je veux dire (rien à voir avec la monotonie)

    merci

  19. #15
    nissart7831

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Pourquoi f' monotone ? c'est plut&#244;t f strictement monotone qu'il faut montrer et donc montrer que f'(x) > 0 ou f'(x) < 0 pour tout x.
    Et vu la gueule de la d&#233;riv&#233;e, c'est pas bien compliqu&#233; &#224; trouver le signe.
    Et puisque 2 valeurs de x ont &#233;t&#233; trouv&#233;es telles que l'image de l'une par f soit strictement n&#233;gative et l'image de l'autre soit strictement positive, il n'y a qu'une valeur de x qui soit racine de f(x) et elle est entre ces deux valeurs, car f est continue.

  20. #16
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Citation Envoyé par Coincoin
    Et généralement, plutôt que -1 et 1, on regarde les limites en moins et plus l'infini, comme ça on est sûr d'encadrer la racine. Mais bon, c'est un détail...
    Oui mais si la fonction admet deux racine par exemples (au lieu de une), alors ça n'ira plus ...

  21. #17
    Coincoin

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Mais vu qu'on veut montrer qu'elle n'admet qu'une seule racine, si elle admet deux racines, il ne faut pas s'étonner que ça marche pas...
    Encore une victoire de Canard !

  22. #18
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Tiens oui je n'avais jamais remarqué que f strictement monotone => (f < 0 OU f > 0)

    Pour ça que je ne comprenait pas que vous parliez de montonie

    Désolé, et merci à tous

  23. Publicité
  24. #19
    Quinto

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Ici la fonctione st polyn&#244;miale de degr&#233; impair, c'est sur qu'elle va en avoir au moins une, et comme tu as dit la d&#233;riv&#233;e est toujours positive, et m&#234;me strictement positive (sauf en un point), donc le r&#233;sultat est prouv&#233;.
    A+

  25. #20
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Citation Envoyé par Coincoin
    Mais vu qu'on veut montrer qu'elle n'admet qu'une seule racine, si elle admet deux racines, il ne faut pas s'&#233;tonner que &#231;a marche pas...
    J'ai &#233;clat&#233; de rire lorsque j'ai lut &#231;a
    Non elle n'en admet qu'une seule mais je veux dire si le polyn&#244;me en aurait admit deux ton test aurait &#233;chou&#233; ...

    merci

  26. #21
    nissart7831

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Citation Envoyé par Quinto
    Ici la fonctione st polynômiale de degré impair, c'est sur qu'elle va en avoir au moins une, et comme tu as dit la dérivée est toujours positive, et même strictement positive (sauf en un point), donc le résultat est prouvé.
    A+
    Petite rectification : la dérivée est strictement positive partout, elle est même supérieure à 1.

  27. #22
    Coincoin

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Ben oui, mais c'est normal. Il aurait fallu couper en deux (ou plus) intervalles où on a la monotonie.
    Encore une victoire de Canard !

  28. #23
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Ok j'y suis

    merci bien à tous

  29. #24
    matthias

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Non rien ...

  30. Publicité
  31. #25
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Citation Envoyé par matthias
    Non rien ...
    Comment-ça ?

  32. #26
    matthias

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    J'avais juste posté un truc idiot que j'ai édité à temps ...

  33. #27
    Bleyblue

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Ah pardon, je me demandais ce que tu voulais dire

  34. #28
    Quinto

    Re : Démontrer qu'un polynôme n'admet qu'une racine réelle ...

    Citation Envoyé par nissart7831
    Petite rectification : la dérivée est strictement positive partout, elle est même supérieure à 1.
    Je n'ai pas dit le contraire, mais je voulais dire que même si elle s'annulait en un point (ou sur un ensemble d'intérieur vide) ca ne changeait pas le résultat sur la monotonie.
    Il existe justement des fonctions dérivables sur des ensembles qui ont un intérieur vide, cette dérivée est nulle, et pourtant la fonction est strictement croissante....

Discussions similaires

  1. Comment démontrer qu'une suite démontrer qu'une suite est convergente? (TS)
    Par neokiller007 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 9
    Dernier message: 08/03/2020, 09h33
  2. démontrer qu'une suite est géométrique
    Par Chtitange dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 7
    Dernier message: 18/05/2010, 18h31
  3. Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle
    Par Furi0u5 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 8
    Dernier message: 16/09/2007, 18h19
  4. Démontrer qu'une fonction n'admet pas de limite à l'aide de suites
    Par mattveil dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 4
    Dernier message: 03/06/2007, 13h31
  5. Démontrer qu'une fonction n'admet pas de primitives
    Par Bleyblue dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 31
    Dernier message: 17/10/2005, 14h26