Surface de Riemann

[invite8ef93ceb]

Bonjour,

c'est l'histoire d'un petit physicien qui fait des maths. Il essai de comprendre ce qu'Est une surface de Riemann mais surtout, à quoi elle sert et quel problème elle règle.

Dans le cours, mon prof a lancé quelques trucs (tout le monde connaissait les surfaces de Riemann sauf moi) pour "aider" à ceux qui n'avaient jamais vu ça.

Il prend l'exemple de la fonction . Il demande: "dans quelle mesure la fonction constitue la fonction inverse de ?

Ensuite, il définit:

bijection.

Hum!? déjà là.. je vois pas trop d'où ca vient... Il écrit:

L'inverse:


Ensuite, ça dit qu'on peut également définir:


bijection.

.

Il dit que pour obtenir une bijection de avec , on doit considérer:

- pour le plan tout entier,
- pour le plan deux fois et recoller la coupure (???),


Ensuite, il faudrait jouer avec deux feuilles de papier, des ciseaux et du scotch tape... Mouais, sans le bricolage (que je peux faire dans ma tête), c'est possible de clarifier un peu tout ça?

En gros, je vois que le domaine de départ et d'arrivé ne sont pas les mêmes, mais surtout que l'un est plus grand que l'autre. Par conséquent, on a pas une bijection (à un élément f(x) correspond un x et un seul, c'est ça?) et il faut "ajouter" des éléments dans un des domaines pour obtenir la bijection?

Toute clarification serait bien apprécié. Déjà si je savais pourquoi c'est nécessaire de faire cela, et comment enlever un peu de françait et de bricollage dans tout ça...

Merci infiniment pour toute aide!

Cordialement,

Simon
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[invite8ef93ceb]

bijection.

Hum!? déjà là.. je vois pas trop d'où ca vient...

Pour préciser, pourquoi l'axe réelle négative est exclue du domaine d'arrivé? z peut être égal à bi (b cte réelle)? Donc la fonction z^2 devrait envoyer z vers tout le plan C?

[mtheory]

Une application importante des surfaces de Riemann c'est le calcul des résidus.Si tu fais une intégrale curviligne dans le plan complexe alors tu va avoir des problèmes avec les fonctions multiformes.
C'est pour rendre uniformes les fonctions complexes multiformes que Riemann a introduit celles-ci.
Il s'agissait aussi de mieux comprendre les fonctions elliptiques et leur doubles périodicités.

http://www.edu.upmc.fr/physique/asla...MathsL3Ch3.pdf

p22 (pdf)

[invite6b1e2c2e]

Rapidement, ça dit juste que si tu veux résoudre z^2 = y, en général tu as 2 solutions.
Après, il te faut choisir entre ces deux solutions afin d'obtenir une application g qui à y associe une solution. Si en plus, tu demandes que cette fonction soit continue, tu t'aperçois qu'il n'y a qu'une seule trajectoire possible localement, i.e. :
Si tu poses g(y) = z1, alors, pour avoir g continue sur un voisinage de y , tu t'aperçoit que tu ne peux définir g que d'une seule façon.
Autre manière de voir : Quand tu fais le tour du cercle trigonométrique par une application z(t) = exp(it), le carré z(t)^2 fait en réalité deux fois le tour.

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Ensuite, il définit:

bijection.

Hum!? déjà là.. je vois pas trop d'où ca vient... Il écrit:

L'inverse:


Ensuite, ça dit qu'on peut également définir:


bijection.

.

En fait, il décrit deux cartes qui recouvrent la surface de Riemann au-dessus de .

Il dit que pour obtenir une bijection de avec , on doit considérer:

- pour le plan tout entier,
- pour le plan deux fois et recoller la coupure (???),

Ensuite, il faudrait jouer avec deux feuilles de papier, des ciseaux et du scotch tape... Mouais, sans le bricolage (que je peux faire dans ma tête), c'est possible de clarifier un peu tout ça?

En fait, tu pourras essayer avec une feuille de papier, mais tu risques d'avoir du mal, car les feuillets se croisent en 3D mais pas dans .

Je te recommande la lecture des premiers chapitres de ce cours de topologie algébrique sur les revêtements.

Cordialement.

[invite8ef93ceb]

Merci à vous, je regarde ce que vous proposez comme lecture, et je reviens si problemes.

Simon

[invite5960cf39]

...et bin je ne sais pas c'est des maths de quel niveau mais ça ma l'air bien bien compliqué , rien à voir avec mes log de terminale

[invite52c52005]

...et bin je ne sais pas c'est des maths de quel niveau mais ça ma l'air bien bien compliqué , rien à voir avec mes log de terminale

Bac +3 / +4

[mtheory]

Au cas où quelqu'un regarderai ce fil,les surfaces de Riemann sont centrales en théorie des cordes .

[invite6b1e2c2e]

C'est bien la théorie qui dit que pour unifier la physique, il faut (il suffit ?) se placer dans un espace à 10 (11 pour les supercordes ?) dimensions.

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rvz, qui a perdu tout sens physique depuis....

[invite52c52005]

C'est bien la théorie qui dit que pour unifier la physique, il faut (il suffit ?) se placer dans un espace à 10 (11 pour les supercordes ?) dimensions.

__
rvz, qui a perdu tout sens physique depuis....

Oui, mais elle dit plein d'autres choses ...