Tenseur de Riemann

[invité576543]

Bonjour,

Une petite question et une réponse probable, que mes lectures n'ont pas directement confirmée.

Si je prend une variété quelconque, la courbure n'est pas nécessairement dérivée d'une métrique. Me demandant quelle condition il peut y avoir sur le tenseur de Riemann, le point suivant est apparu:

Le tenseur , u et v deux vecteurs donnés, est un tenseur (1,1). C'est un morphisme d'espace tangent. En 4D, se poser la question si c'est une transformation de Lorentz semble légitime.

Est-il correct que si la courbure dérive d'une métrique de signature (3,1), ces tenseurs sont toujours des transformations de Lorentz? Est-il correct que la réciproque est vraie?

Il me semble que oui, peut-être avec une qualification portant sur la torsion, mais je suis à la recherche d'une confirmation.

Cordialement,
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[Lévesque]

Bonjour mmy,

Si je prend une variété quelconque, la courbure n'est pas nécessairement dérivée d'une métrique.

Tu veux dire dérivé d'une connexion métrique?

Me demandant quelle condition il peut y avoir sur le tenseur de Riemann

Tu te demandes ce que la métricité de la connexion impose au tenseur de Riemann?

Je n'en connais pas assez pour donner une réponse précise, mais mon intuition me dit qu'imposer que la connexion soit métrique doit forcément amener des symétries dans le tenseur de courbure.

Je viens de relire et je comprends mieux ta question... j'y réfléchi.

Cordialement,

Simon

[Lévesque]

Rebonjour,

Appelons L ton tenseur. La condition pour que L soit une transfo de Lorentz est , où .

Si tu introduis L (j'imagine que I est l'identité) dans la condition, tu obtiens une nouvelle condition.

Si ta variété est pseudo-Riemannienne et ta connexion est riemannienne (i.e. torsion nulle et métrique), alors tu as les propriétés de symétries suivantes:





Regarde si ça t'aide.. sinon, je ne vois pas vraiment ce qu'est le fond de ton questionnement.

Cordialement,

Simon

[invité576543]

Si ta variété est pseudo-Riemannienne et ta connexion est riemannienne (i.e. torsion nulle et métrique), alors tu as les propriétés de symétries suivantes:

Il me semble que certaines sinon toutes sont toujours valables, quelle que soit la nature de la connexion.

La première, c'est évident, c'est dû à la nature de commutateur du tenseur.

La seconde vient de l'inversibilité, c'est général.

La dernière, je ne sais pas.

sinon, je ne vois pas vraiment ce qu'est le fond de ton questionnement.

Comprendre le tenseur et la métrique!

Intuitivement, ce que je propose semble évident: on transporte une base d'une part selon u puis v, de l'autre selon v puis u: on se retrouve dans un même espace tangent et il existe un tenseur (1,1) qui fait passer de l'un à l'autre. Si la connexion respecte la métrique, ce doit être une transformation qui respecte la métrique, donc une transformation de Lorentz.

La réciproque ce n'est pas claire pour moi.

Cordialement,

Simon[/QUOTE]

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rincevent]

Si je prend une variété quelconque, la courbure n'est pas nécessairement dérivée d'une métrique.

à proprement parler, la courbure ne dérive jamais directement de la métrique. Elle est définie à partir de la connexion. Les variétés riemanniennes sont un cas particulier pour lesquelles le fait d'imposer l'absence de torsion et la compatibilité de la connexion avec la métrique implique que les coefficients de la connexion sont dépendants de la métrique.

Est-il correct que si la courbure dérive d'une métrique de signature (3,1), ces tenseurs sont toujours des transformations de Lorentz?

par construction, oui (la norme étant conservée du fait de la compatibilité avec la métrique).

Est-il correct que la réciproque est vraie?

il me semble que la réciproque n'est pas toujours vraie : je crois que ça dépend de propriétés globales de la variété... (tentative d'exemple trivial : si tu as une variété plate, seule l'identité appartient au groupe formé par les transformations que tu obtiens par des loops)

en fait, si je me souviens bien, l'ensemble des transformations ainsi obtenu est nommé "groupe d'holonomie de la variété" et il est toujours un sous-groupe du "groupe d'ínvariance local". M'enfin, c'est un sujet pas trivial et suis très loin d'être expert dessus et je te conseille d'aller voir plutôt sur le forum math

reste que c'est en rapport avec ce qu'on appelle "la formulation d'Ashtekar" de la RG, formulation utilisée par la LQG, l'idée étant grossiement de faire jouer un rôle fondamental à ce groupe plutôt qu'à la métrique. Je crois aussi me souvenir que Carroll mentionne ça dans son cours... il fait un lien avec les problèmes d'ordre à définir pour intégrer en QFT.

[invité576543]

en fait, si je me souviens bien, l'ensemble des transformations ainsi obtenu est nommé "groupe d'holonomie de la variété" et il est toujours un sous-groupe du "groupe d'ínvariance local". M'enfin, c'est un sujet pas trivial et suis très loin d'être expert dessus et je te conseille d'aller voir plutôt sur le forum math

reste que c'est en rapport avec ce qu'on appelle "la formulation d'Ashtekar" de la RG, formulation utilisée par la LQG, l'idée étant grossiement de faire jouer un rôle fondamental à ce groupe plutôt qu'à la métrique. Je crois aussi me souvenir que Carroll mentionne ça dans son cours... il fait un lien avec les problèmes d'ordre à définir pour intégrer en QFT.

Bonjour,

J'ai vu où c'est dans le Caroll. Ca revient à dire que le tenseur que j'ai cité est la limite du propagateur infinitésimal de la boucle u v -u -v, quand u et v tendent vers 0. Comme tous les propagateurs sont des transformations de Lorentz, la conclusion suit.

Merci,

[invité576543]

sinon, je ne vois pas vraiment ce qu'est le fond de ton questionnement.

Bonjour,

Pour reprendre la question de Simon, mon questionnement n'a rien d'original, il porte sur la relation entre métrique, connexion, et tenseurs de Riemann (et de torsion). Et surtout la nature de la métrique en tant que champ.

La présentation (et les calculs) sont usuellement dans l'ordre: on suppose la métrique, on en déduit, sous hypothèse de torsion nulle, la seule connexion compatible (Christoffel), et on en déduit le tenseur de Riemann. (1)

La métrique apparaît dans ces présentations comme la fondation de la construction.

Or je n'arrive pas à comprendre comment on mesure la métrique, comment on la trouve sur le terrain. La connexion n'apparaît que comme une conséquence d'un choix de coordonnées. Mais le tenseur de Riemann a un sens physique, il est mesurable (il me semble...).

Je me demandais s'il n'était pas plus logique d'inverser la chaîne.

A savoir, on constate sur le terrain que le tenseur de Riemann (2) respecte la propriété, testable, que pour tout événement, tout u et v, est une transformation de Lorentz (3), que l'ensemble de ces transformations constatées forment un groupe caractérisé par la conservation de la métrique locale correspondante, métrique de même signature (4) partout.

La non nullité du tenseur de Riemann, impose (si je comprend bien, mais sans totale certitude) la non-existence d'un référentiel continu (la donnée continue de 4 vecteurs de bases de l'espace tangent) où la métrique serait toujours diag(1,-1,-1,-1), un référentiel partout orthonormé.

Par contre, avec la condition que la torsion soit nulle, alors il est possible (j'imagine), une fois donné un système de coordonnnées de la variété, de définir un champ de métrique et une connection correspondant au tenseur de Riemann donné d'entrée. Ce champ de métrique est alors automatiquement tel qu'il existe une base locale dans laquelle la métrique locale se met sous forme standard.

Vu comme ça, ce qui est premier, ce que l'on peut vérifier sur le terrain, c'est le tenseur R (et le tenseur de torsion, j'imagine), et de là découle la métrique.

Au passage, ça donne une certaine assise au principe de relativité local, l'invariance des lois par rapport aux transformations de Lorentz: si on peut effectuer une telle transformation par transport parallèle le long d'une boucle, il semble raisonnable de demander que les lois de la physique ne soient pas impactées par la transformation.

Cordialement,

Michel


(1) On trouve les formules métrique --> connexion (Christoffel), connexion --> Riemann, métrique --> Riemann. "Connexion" est remplaçable (et réciproquement) par "Dérivée covariante". Mais je n'ai pas encore rencontré de formules donnant la métrique à partir de Riemann ou même à partir de la connexion.

(2) Et en fait, maintenant que j'ai compris de quoi on parle, que toute holonomie de boucle fermée respecte la propriété.

(3) Une tranformation de Lorentz est une rotation et une différence de vitesse. Une autre transformation linéaire impliquerait une déformation ou une dilatation. On ne constate pas de telles transformations pour un dispositif physique donné. Genre on envoie quelque chose dans l'espace, et il revient plus gros, plus petit ou déformé, comparé au même quelque chose resté sur Terre.

(4) Non seulement les signes distincts, mais aussi l'isotropie des trois dimensions spatiales.