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Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle



  1. #1
    Furi0u5

    Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle


    ------

    Bonjour,

    Je bloque au tout début d'un exercice.

    Soit x^3 + x = 3
    But de l'exercice: en utilisant la fonction f définie sur R par f(x) = x^3 + x, démontrer que cette équation admet une unique solution réelle que l'on notera alpha.

    Est ce que déjà, ça veut dire que f(x) = 3 ?

    La première question:
    A l'aide des variations de f, justifier que alpha appartient à l'intervalle [1;2].

    Donc, j'ai fais le tableau de signe de la dérivée f'(x) = 3x² + x et j'ai trouvé les variations. Comme le signe de f'(x) est positif sur R, j'en conclue que f(x) est croissante sur R. Jusque là c'est bon?
    Ensuite que faire? Je vois pas à quoi servent les variations pour trouver ça.

    Il y a quelque chose qui m'échappe, je parie que c'est tout simple...

    Merci

    -----

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  3. #2
    benjy_star

    Re : Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle

    Salut !

    Pour f(x), factorise par x, ça aidera déjà bien !

  4. #3
    Ecthelion22

    Re : Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle

    Salut,
    alors non ça ne veut pas dire directement que f(x)=3. Mais en fait, on va chercher à te faire démontrer que pour f(x)=3, le x est unique. En fait le "soit x^3+x=3" t'induit en erreur à cause du "soit". Il aurait peut-être mieux valu mettre "on s'intéresse à l'équation x^3+x=3".

    Donc tu dois chercher le x tel que f(x)=3.
    L'idée de la dérivée est correcte mais elle me semble fausse. (Par contre, je pense qu'il est peut-être un peu plus compliqué de factoriser par x, la dérivée d'une addition étant quand même plus simple à faire...).
    Et je serais toi, je chercherais quand la fonction g(x)=f(x)-3 vaut 0.

    Cordialement,
    Ecthelion

  5. #4
    Furi0u5

    Re : Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle

    Merci d'avoir répondu

    x^3+x = x(x² + 1)

    Puis faut peut-être faire ça: 1 =< alpha =< 2
    Et donc que 1 =< x^3+x =< 2
    Et donc que 1 =< x(x² + 1) =< 2

    C'est ok jusque là? Mais... j'vois pas vraiment quoi faire après^^
    Et quel rapport avec les variations?
    Vous auriez pas un exercice similaire en guise d'exemple s'il vous plaît?

    Edit: merci Ecthelion, mais ça correspond à quoi g(x)?
    Dernière modification par Furi0u5 ; 16/09/2007 à 13h33.

  6. #5
    Furi0u5

    Re : Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle

    Ahh... f(x)-3 = 0
    Après je tombe sur x^3 + x - 3 = 0, mais bon ça m'avance toujours pas
    Puisque le but de l'exo est de résoudre cette équation du troisième degrès en utilisant la dichotomie.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    anonymus

    Re : Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle

    Bonjour.
    Et euh la TVI ???
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

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  10. #7
    Furi0u5

    Re : Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle

    Huh? TVI?
    :O

  11. #8
    Furi0u5

    Re : Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle

    On peut pas éditer après plusieurs minutes -_-

    Ah, théorème des valeurs intermédiaires.
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...m%C3%A9diaires
    Ok, mais j'sais pas comment ça marche ça moi

  12. #9
    Furi0u5

    Re : Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle

    J'ai trouvé.

    Tout simple:
    - calculer la dérivée
    - trouver la variation: strictement croissante
    - calculer f(1) et f(2)
    - on remarque que 3 est compris dans cet intervalle

    Dernière modification par Furi0u5 ; 16/09/2007 à 19h23.

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