Démontrer qu'une solution appartient à un intervalle

[invite04e0ee7f]

Bonjour,

Je bloque au tout début d'un exercice.

Soit x^3 + x = 3
But de l'exercice: en utilisant la fonction f définie sur R par f(x) = x^3 + x, démontrer que cette équation admet une unique solution réelle que l'on notera alpha.

Est ce que déjà, ça veut dire que f(x) = 3 ?

La première question:
A l'aide des variations de f, justifier que alpha appartient à l'intervalle [1;2].

Donc, j'ai fais le tableau de signe de la dérivée f'(x) = 3x² + x et j'ai trouvé les variations. Comme le signe de f'(x) est positif sur R, j'en conclue que f(x) est croissante sur R. Jusque là c'est bon?
Ensuite que faire? Je vois pas à quoi servent les variations pour trouver ça.

Il y a quelque chose qui m'échappe, je parie que c'est tout simple...

Merci
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[invite19431173]

Salut !

Pour f(x), factorise par x, ça aidera déjà bien !

[Ecthelion22]

Salut,
alors non ça ne veut pas dire directement que f(x)=3. Mais en fait, on va chercher à te faire démontrer que pour f(x)=3, le x est unique. En fait le "soit x^3+x=3" t'induit en erreur à cause du "soit". Il aurait peut-être mieux valu mettre "on s'intéresse à l'équation x^3+x=3".

Donc tu dois chercher le x tel que f(x)=3.
L'idée de la dérivée est correcte mais elle me semble fausse. (Par contre, je pense qu'il est peut-être un peu plus compliqué de factoriser par x, la dérivée d'une addition étant quand même plus simple à faire...).
Et je serais toi, je chercherais quand la fonction g(x)=f(x)-3 vaut 0.

Cordialement,
Ecthelion

[invite04e0ee7f]

Merci d'avoir répondu

x^3+x = x(x² + 1)

Puis faut peut-être faire ça: 1 =< alpha =< 2
Et donc que 1 =< x^3+x =< 2
Et donc que 1 =< x(x² + 1) =< 2

C'est ok jusque là? Mais... j'vois pas vraiment quoi faire après^^
Et quel rapport avec les variations?
Vous auriez pas un exercice similaire en guise d'exemple s'il vous plaît?

Edit: merci Ecthelion, mais ça correspond à quoi g(x)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite04e0ee7f]

Ahh... f(x)-3 = 0
Après je tombe sur x^3 + x - 3 = 0, mais bon ça m'avance toujours pas
Puisque le but de l'exo est de résoudre cette équation du troisième degrès en utilisant la dichotomie.

[invitefc60305c]

Bonjour.
Et euh la TVI ???

[invite04e0ee7f]

Huh? TVI?
:O

[invite04e0ee7f]

On peut pas éditer après plusieurs minutes -_-

Ah, théorème des valeurs intermédiaires.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...m%C3%A9diaires
Ok, mais j'sais pas comment ça marche ça moi

[invite04e0ee7f]

J'ai trouvé.

Tout simple:
- calculer la dérivée
- trouver la variation: strictement croissante
- calculer f(1) et f(2)
- on remarque que 3 est compris dans cet intervalle