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démontrer qu'une suite est décroissante



  1. #1
    Bob87

    démontrer qu'une suite est décroissante


    ------

    Bonjour à tous je vous sollicite à cause d'un petit problème avec une suite.

    Le début de l'exercice nous a permis de déterminer que Wn=-11+12x(1/12)n

    Je veux démontrer que Un= (2Wn)/3 est décroissant .
    J'ai déjà utilisé la relation Un+1-Un
    Comment dois-je m'y prendre ?

    Je sais aussi que lim Wn=-11

    Je vois plusieurs pistes pour démontrer la décroissance : étudier le signe de Un, peut être utiliser le fait qu'elle est convergente ?

    -----

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  3. #2
    Gwyddon

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    Bonsoir,

    Je réécris ton énoncé, des fois que je ne l'ai pas bien saisi (tu me corriges si c'est le cas) :



    Et



    Si c'est bien ça, il n'y a aucun soucis pour déterminer le sens de variation des deux suites, qui sont toutes deux croissantes (et non décroissantes), et la limite de wn est , pas -11.


    J'en déduis donc que tu as mal écrit ton énoncé, et que la suite était sans doute

    (le 12 est simplifiable)

    Là encore, c'est très simple il suffit de faire un+1-un et de déterminer le signe du résultat (ce n'est vraiment pas compliqué), tu vas te rendre compte que c'est négatif et donc que ta suite est bien décroissante
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  4. #3
    Bob87

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    ah c'est bien reçu ! Mais la suite Wn=2Wn/3 et non pas 2/3 de Wn.

    Donc en faisant ce calcul : (-22+(2/n))/3 je dois trouver un résultat négatif. Correct ?

  5. #4
    Gwyddon

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    Ton dernier message manque encore de clarté !

    N'hésite pas à utiliser les parenthèses et le symbole *

    Tel que c'est écrit, pour moi 2Wn/3 c'est la même chose que (2/3)* wn

    Et tu écris wn à gauche et à droite de l'égalité

    Donc dans l'immédiat, je ne peux pas savoir ce que tu calcules...
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. #5
    kNz

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Tel que c'est écrit, pour moi 2Wn/3 c'est la même chose que (2/3)* wn
    J'ai l'impression que 2Wn/3 n'est pas égal à (2/3)Wn pour Bob87, non ?



    J'ai ptet pas du tout compris, mais au vu des deux derniers messages, le problème semble être là,

    Désolé si j'suis hors sujet

    A+

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bob87

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    Donc il ya eu des questions avant celle ci :

    énoncé :

    Soit (Un)n>0 et (Vn)n>0 deux suites réelles définies par U1=12, V1=1 et pour tour réel n appartient a IN :

    Un+1=(Un+2Vn)/3 et Vn+1=(Un+3Vn)/4
    Pour tout n appartient a IN on pose : Wn=Vn-Un

    1) Démontrer que Wn est géométrique.
    2)Exprimer Wnen fonction de n.
    3) Démontrer que la suite Wn est convergente et déterminer sa limite.

    4)Démontrer que la suite Un est décroissante et que Vn est croissante.

    DOnc j'en suis à la 4ème question et j'essaie de prouver que Un est décroissante : j'ai fais Un+1 - Un

    et je trouve (-2Un+2Vn)/3 soit 2(-Un+Vn)

    j'ai trouvé précedemment que -Un+Vn = Wn

    donc (2Wn)/3 et là je coince un peu.

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  10. #7
    Bob87

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    Personne n'a d'idées ?

  11. #8
    Gwyddon

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    Bonjour,

    Plusieurs choses :

    _ ton expression de wn est fausse. Rappel : si wn est géométrique de raison a, alors wn = w1*an .

    _ Il s'ensuit que ta limite est fausse. Une fois rectifiée l'expression de wn, ça devrait aller mieux

    _ Faire un+1-un est très bien, et tu as raison ça fait (2/3)wn (et je te rappelle que (2wn)/3 c'est pareil que (2/3)wn ).

    Une fois que tu auras la bonne expression de wn, tu pourras sans problème déterminer le signe de un+1-un (et pareil pour vn+1-vn )
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  12. #9
    Bob87

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    Ok alors Wn=W1*qn

    -11x(1/12)n

    Ok ?

  13. #10
    Gwyddon

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    Euh... Désolé j'ai rippé

    Je voulais dire wn = w0* qn-1

    Bon sinon tu as compris le truc, et l'expression juste ici c'est

    Maintenant, tu as toutes les cartes en main pour faire la suite

    EDIT : ah et pour la dernière fois, fait un effort sur la lisibilité.... pour un exposant, écrit q^n et pas qn
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  14. #11
    Patrice007

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Euh... Désolé j'ai rippé

    Je voulais dire wn = w0* qn-1

    Bon sinon tu as compris le truc, et l'expression juste ici c'est

    Maintenant, tu as toutes les cartes en main pour faire la suite

    EDIT : ah et pour la dernière fois, fait un effort sur la lisibilité.... pour un exposant, écrit q^n et pas qn
    Prendre :
    wn = w1* qn-1
    Avec w1 = -11 = V1 - U1

  15. #12
    Patrice007

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    3°)
    Pour la suite du problème on pose :
    Wn = -132*(1/12)^n
    Quand n -> infini ; lim Wn = 0 ; car (1/12)^n tend vers zéro

    4°) Pour Un
    Vn = Un + Wn = Un -132*(1/12)^n
    On substitue Vn dans Un+1
    Un+1 = (Un)/3 + (2/3)*(Un -132/(12^n))
    = Un - 88/(12^n)
    D'où "Un" Décroissante

    Idem pour Vn
    Un = Vn - Wn = Vn +132*(1/12)^n
    Vn+1 = Vn + 33/(12^n)
    D'où "Vn" Croissante

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  17. #13
    Gwyddon

    Re : démontrer qu'une suite est décroissante

    Le but n'est pas de résoudre l'exercice à la place de l'auteur de la question, mais de l'amener progressivement à la réponse....
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