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[Lycée] Démontrer qu'une suite est croissante.



  1. #1
    MalikaJ

    [Lycée] Démontrer qu'une suite est croissante.


    ------

    Bonjour,

    Je suis bloquée dans un excercice, sur les suites.



    Voici l'énoncé :

    Pour tout n non nul :
    Un = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
    Vn = U2n - Un
    Démontrer que la suite (Vn) est croissante



    Voici mon raisonnement :

    Un = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
    Un+1 = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1)
    Un+1 - Un = 1/(n+1)

    U2n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... + 1/2n
    U2(n+1) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... + 1/2n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)
    U2n+2 - U2n = 1/(2n+1) + 1/(2n+2)

    Vn+1 - Vn = U2n+2 - Un+1 - (U2n - Un)
    Vn+1 - Vn = U2n+2 - Un+1 - U2n + Un
    Vn+1 - Vn = (U2n+2 - U2n) - (Un+1 - Un)
    Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)



    Seulement, en traçant la fonction associée sur la calculette, je n'ai pas l'impression que c'est croissant sur [0 ; +infini[
    Je dois avoir fait une erreur de calcul.

    Sinon, suis je bien partie ?
    Une fois que j'aurai trouvé Vn+1 - Vn (car visiblement, je dois m'etre trompée ici), comment prouver que la suite est croissante ?


    Merci de m'avoir lu.
    J'espère que vous pourrez me donner un coup de main, car je sèche vraiment.

    -----

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  3. #2
    evariste_galois

    Re : [Lycée] Démontrer qu'une suite est croissante.

    Salut,

    Dans la dernière expression Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1), il suffit de remarquer de 1/(n+1)=1/(2n+2)+1/(2n+2) .

    Bonne continuation.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  4. #3
    GuYem

    Re : [Lycée] Démontrer qu'une suite est croissante.

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Salut,

    Dans la dernière expression Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1), il suffit de remarquer de 1/(n+1)=1/(2n+2)+1/(2n+2) .

    Bonne continuation.
    J'ai comme l'impression que t'es un peu à coté de la plaque ou alors c'est qu'il se fait tard?

    Malika pour montrer que V_n est croissante il faut regarder V_n+1 - V_n, comme tu l'as trés bien fait et montrer que c'est positif.


    Aprés reflexion, evariste n'est pas à coté de la plaque, mais pile dessus.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  5. #4
    MalikaJ

    Re : [Lycée] Démontrer qu'une suite est croissante.

    Donc vous etes d'accord pour le resultat que j'ai trouvé pour Vn+1 - Vn ?


    Donc en suivant les conseils d'evariste_galois, ça donne :

    Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)

    et 1/(n+1)=1/(2n+2)+1/(2n+2)

    Donc Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(2n+2) - 1/(2n+2)
    Donc Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) - 1/(2n+2)


    [Et ensuite, pour montrer que c'est croissant, j'applique les conseils de GuYem :]

    n est un entier naturel non nul,
    donc n > 0

    donc :
    2n+1 > 0 d'ou 1/(2n+1) > 0
    2n+2 > 0 d'ou 1/(2n+2) > 0

    et 2n+1 < 2n+2
    donc 1/(2n+1) > 1/(2n+2)
    donc 1/(2n+1) - 1/(2n+2) > 0

    Donc Vn+1 - Vn > 0
    Donc la suite Vn est croissante.


    C'est bon ?
    J'ai correctement justifié ?

  6. #5
    GuYem

    Re : [Lycée] Démontrer qu'une suite est croissante.

    Oui c'est tout bon. Tu as plus que correctement justifié, tu as superbement justifié!

    A l'avenir il faudra essayer d'aller un peu plus vite sinon tu risques d'être prise par le temps, en devoir par exemple.
    Bravo jolie Ln, tu as trouvé : l'armée de l'air c'est là où on peut te tenir par la main.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    pharma123

    Re : [Lycée] Démontrer qu'une suite est croissante.

    comment tu trouve 1/2n+1

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