groupes
Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice, j'ai besoin d'aide.
On note C_k un groupe cyclique d'ordre k noté multiplicativement. Soient deux groupes cycliques c_n et c_m avec nm. On pose c_m=<x> et c_m=<y>. Soient ac_m et bc_n tels que o(a)=r et o(b)=s. Quel est l'ordre de l'élément (a,b) dans le groupe C_nXC_m
Salut,
l'ordre de (a,b) est le plus petit entier p>0 tel que (a^p,b^p)=(1,1)
Or, si p>0 est tel que (a^p,b^p)=(1,1) alors on a a^p=1 et b^p=1, donc p est un multiple de o(a)=r et de o(b)=s, donc p est un multiple de ppcm(r,s), donc p>=ppcm(r,s). Par ailleurs il est facile de voir que, si x=ppcm(r,s) on a (a^x,b^x)=(1,1). Donc l'ordre de (a,b) est ppcm(r,s).
Je ne vois pas l'intérêt ici de savoir que les groupes sont cycliques et d'avoir un générateur des deux groupes...
A ok et pour y sa marche aussi? car j'ai pas très bien compris pourquoi dans l'énoncé on pose c_m=<x> et c_m=<y>
Ah pardon, quand j'ai posé x=ppcm(r,s), ce n'était pas le x de c_m=<x>..., c'était juste une notation pour ne pas écrire (a^ppcm(r,s),b^ppcm(r,s))=(1,1 ). Mais comme je l'ai dit, ici ça n'a aucun intérêt de savoir que els groupes sont cycliques et de connaître un de leurs générateurs, ce résultat est général.
A ok merci j'ai mis l'énoncé comme il était et du coup je pensais que c'était important
merci de m'avoir aider
