Groupes

[Bleyblue]

Bonjour,

On nous définit la notion de groupes la tantôt :

Un groupe G,*,e est un ensemble d'éléments munis d'une opération * : G.G -> G : (g.h) -> g * h telle que :

1) * est interne et partout définie
2) est associative
3) admet l'élément neutre e
4) jouit de l'inversibilité

Mais lorsqu'on dit UNE opération, ça sous entend une et une seule ? Si j'ai deux opérations qui satisfont à ces conditions sur l'ensemble considéré (quoique je pense que ce n'est pas évident à trouver un tel ensemble mais bon ...) ça formera donc DEUX groupes ?

Et alors a propos d' "interne et partout définie" : Moi je ne vois pas comment une opération pourrait ne satisfaire qu'a une seule de ces deux conditions.
Pourriez-vous me donner un exemple (d'une opération qui est partout définie sur un ensemble mais pas interne, et l'inverse aussi si possible) ?

merci
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[Coincoin]

Salut,
Pour pouvoir parler de groupe, il faut considérer un ensemble mais aussi une loi (c'est ça que veut dire le "muni de"). Donc (G,*) peut être un groupe, ça n'empêche pas que (G,+) puisse l'être aussi...

une opération qui est partout définie sur un ensemble mais pas interne

+ sur l'ensemble {1}. 1+1 n'appartient pas à G, la loi n'est pas interne.

l'inverse aussi si possible

La loi schtroumpf sur l'ensemble des entiers naturels, telle que :
a schtroumpf b = a+b si a et b sont différents de 27, et qui ne dit strictement rien dans le cas où a ou b est égal à 27...

[GuYem]

Salut!
Des groupes, quel bonheur

Alors :

-Partout définie ça veut dire que tu peux composer n'importe quelle paire d'éléments entre eux. Par exemple sur R, la multiplication est partout définie. La division ne l'est pas parce que tu peux pas diviser 1 par 0 par exemple.

-Interne ça veut dire que quand tu composes deux éléments de l'ensemble, tu retrouves un (autre) élément de l'ensemble. Par exemple sur R, la multiplication est interne. Si tu prends l'ensemble {0,1,2} et si tu considères l'addition usuelle, ce n'est pas une opération interne car 1+2=3 et tu sors de l'ensemble!

-UNE opération. Elle est un peu bizarre ta question. On peut imaginer un ensemble sur lequel on aurait deux lois différentes telles que ces deux lois forment deux structures de groupes différentes. Ca n'aurait pas trop d'intérêt je crois.
Par contre ce que tu verras par la suite c'est qu'on mettra une deuxième loi sur l'ensemble, qui doit respecter certaines propriétés par rapport à la première et là ça deviendra un anneau, ou un corps ou même un espace vectoriel.

Bref, que de bonnes choses qui t'attendent

EDIT : grillé par un coincoin enragé ; en plus il a des super contre exemples avec des schtroumpfs lui :P

[doryphore]

L'ensemble des fonctions définies sur R est un exemple d'ensemble qui peut être muni de deux lois de groupe pertinentes: L'addition et la composition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Tout d'abord merci pour vos trois réponses ...

rapport à la première et là ça deviendra un anneau, ou un corps ou même un espace vectoriel.

Oh oui, il y a un chapitre consacré aux anneaux qui va venir bientôt, ça va être chouette

+ sur l'ensemble {1}. 1+1 n'appartient pas à G, la loi n'est pas interne.

Et donc dans ce cas la, la loi est partout définie malgré le fait qu'elle ne soit pas interne ?

La loi schtroumpf sur l'ensemble des entiers naturels, telle que :
a schtroumpf b = a+b si a et b sont différents de 27, et qui ne dit strictement rien dans le cas où a ou b est égal à 27...

Et ici la loi est interne malgré le fait qu'elle ne soit pas partout définie ?

UNE opération. Elle est un peu bizarre ta question.

Oui en fait, en y repensant ça n'est pas très malin ce que j'ai demand
la ...

-Partout définie ça veut dire que tu peux composer n'importe quelle paire d'éléments entre eux. Par exemple sur R, la multiplication est partout définie. La division ne l'est pas parce que tu peux pas diviser 1 par 0 par exemple.

Oui mais la justement moi j'aurais tendance à dire que la division est partout définie, mais qu'elle n'est pas interne car si r est réel : r/0 = oo et l'infini n'est pas un réel. Pour moi ça revient au même que la soustraction sur les naturels par exemple : 4 -5 = -1 et -1 n'est pas réel. Mais ici la soustraction est bien partout définie sur IN, c'est juste qu'elle n'est pas interne ...
Mais peut être que, l'infini n'étant pas un nombre (du moins il ne me semble pas),on dit que le résultat de r/0 n'est pas définit plutôt que de dire qu'il n'est pas interne à IR ?

merci

[doryphore]

Le exemples de Coincoin sont très parlants et répondent exactement à tes questions.

Cela dit, je pense que définie implique interne quand tu considères la loi sur un ensemble G qui n'est pas considéré comme un sous-ensemble d'un autre ensemble.

La loi de Coincoin peut être définie sans être interne car il considère que {1} fait partie d'un ensemble plus grand: N par exemple.

La loi stroumph est bien une loi interne car tous les couple sde nombres qui ont une image ont une image dans N. En revanche, il existe des couples de nombres qui n'ont pas d'images.
On peut dire que la correspondance de NxN dans N qui à (a,b) associe (a stroumph b) n'est pas une application.

Pour répondre à ta dernière question, c'est en relation à la réponse que j'ai faite à ta première qustion:

Si tu considère N comme une sous partie de Z, tu peux dire que la soustraction est partout définie, sinon tu ne le peux pas....

Si tu considère R comme une partie du complexifié d'Alexandroff de R dans lequel les deux infinis existent, tu peux de même voir la division comme une loi partout définie non interne.

Je pense qu'en général quand on s'intéresse à une loi de groupe ,on ne s'intéresse guère à l'extérieur du groupe donc on peut considérer que parout définie implique interne en revanche la réciproque est fausse.

[GuYem]

Oui tu as toi-même compris là où ton raisonnement foire:

1/0 n'est pas définie.

Ensuite si tu travailles sur R complété avec oo, tu dois pouvoir définir la division de façon interne ; de là à faire un groupe il y a encore du boulot.

De toute façon ces deux notions ne peuvent pas être confondues (non, t'as pas le droit!) :
-partout définie : tu peux tout composer.
-interne : à chaque fois eu tu peux composer, tu retombes dans l'ensemble de départ.

[doryphore]

Impossible faire un groupe avec la division:
(1/2)/3=1/6 et 1/(2/3)=3/2 donc ce n'est même pas un magma associatif...

[Bleyblue]

Ok merci

C'est plus clair ...

[GuYem]

L'ensemble des fonctions définies sur R est un exemple d'ensemble qui peut être muni de deux lois de groupe pertinentes: L'addition et la composition.

Pour la composition il faut que tes fonctions soient inversibles.
Seulement si tu te restreins aux fonctions inversibles alors l'addition n'est plus interne...

Je n'ai pas d'exemple d'ensemble muni de deux lois qui soit un groupe pour chacune de ces lois.

[doryphore]

Heu... oui, zut...

[Bleyblue]

Et un groupe commutatif je suppose que c'est un groupe dans lequel la commutativité est d'application pour la loi que l'on considérée.

C'est amusant parce qu'avant moi je pensais que l'associativité impliquait la commutativité puis je me suis rendut compte qu'en fait :

5 - 2 c'est la même chose que (-2) +5 et c'est différent de 2 - 5

[GuYem]

Ouais tu fais un peu de confusion avec ton moins.

Le commuté de 5 -2 est bien -2 +5. L'addition est commutative.

L'associativité n'implique certainement pas la commutativité.

Voilà un groupe non commutatif :
G={1, i , j , k , -1 , -i , -j , -k}

La loi est la "muliplication" telle que 1 est neutre, ij=k , jk=i , ki=j , ji=-k , ik=-j , kj=-i et la multiplication par -1 fais ce qu'on pense, à savoir changer le signe.

Ca s'appelle le groupe des quaternions.

[doryphore]

Non, je crois que Bleyblue parlait de la loi - mais elle n'est pas non plus associative de toute façon.

Le produit de matrice ou composition de fonction sont des exemples de lois associative et non commutative.

[Bleyblue]

Ah oui les quaternions, généréralisation des complexes à 4 dimensions ? Ca a l'air amusant, malheureusement je ne les verrai jamais au cours car je ne suis pas en math

Mais dis, la soustration sur IR est bien non associative non ? Car si j'ai -5 -(6 - 1) c'est bien différent de -1 -(6 - 5)

Sinon on me demande si "l'ensemble des polynômes à coefficients réels, en une indterminée, de degré inférieur ou égal à 3 muni de l'addition (de la mutiplication)" est bien un groupe ?

Bon pour ce qui est de la mutiplication moi je dirais non car un polynôme de degré deux par un autre polynôme de degré deux donne bien un polynôme de degré quatre.

Pour ce qui est de l'addition je dirais oui:

- L'addition de polynômes de degrés inférieurs ou égals à trois donne bien un autre polynôme degré inférieur ou égal à trois

- L'addition est de polynôme bien associative

- L'addition de polynôme admet bien un neutre : 0 = 0 + 0x + 0x² + 0x³

- Tout polynôme admet un inverse pour l'addition aussi : P(x) + (- P(x)) = (-P(x)) + P(x) = 0

C'est bon ça ou pas ?

merci

EDIT : croisement avec doryphore

[GuYem]

Tout bon.

Le corps des quaternions généralise les complexes en quatre dimension sur R.
Le groupe des quaternions donné plus haut et tout de même un peu plus simple!
Le groupe des quaternions est un sous-groupe du groupe multiplicatif du corps des quaternions.

On arrive à faire des jolies phrases hein?

[Coincoin]

Pour les polynômes, tu as raison.

Pour l'associativité, tu devrais revoir ton cours, je pense... C'est bizarre ce que tu écris.

[Bleyblue]

Ah bon je me suis trompé pour la non associativité la soustraction ?

Vais aller revoir ça

merci

[doryphore]

On dirait plus de la pseudoassociatocommutativité (néologisme)

[Bleyblue]

hum, je dirais plutôt :

(6 - 1) - 5 = (6- 5) -1 donc c'est associatif ...

Sinon je dois déterminer si la structure :

P,E,U est un groupe (P étant la collection des sous ensembles de E, U désignant l'union)

Alors si je me trompe pas U est bien :
- interne et partout définie
- associative
- E est le neutre
- Mais je n'arrive pas à trouver une expression pour l'inverse.
Vous avez une idée ?

merci

[GuYem]

hum, je dirais plutôt :

(6 - 1) - 5 = (6- 5) -1 donc c'est associatif ...

Sinon je dois déterminer si la structure :

P,E,U est un groupe (P étant la collection des sous ensembles de E, U désignant l'union)

Alors si je me trompe pas U est bien :
- interne et partout définie
- associative
- E est le neutre- Mais je n'arrive pas à trouver une expression pour l'inverse.
Vous avez une idée ?

merci

Raté. Il n'y a pas de neutre. Quand tu fais A U E, tu trouves E, pas A

EDIT : autant pour moi Doryphore, il y a bien un neutre :P. Mais pas d'inverse.

[doryphore]

Pour l'associativité, ce n'est toujours pas cela...

Pour le reste, il y a un neutre mais pas E

[GuYem]

hum, je dirais plutôt :

(6 - 1) - 5 = (6- 5) -1 donc c'est associatif ...

J'y reviens.

Tu as du mal avec l'associativité. L'associativité dit que l'on peut faire les opérations dans n'importe quel sens. Au niveau de la définition c'est juste un déplacement de parenthèses, et non pas d'éléments!

Un loi * est dite associative si pour tout a,b,c on a
(a*b)*c = a*(b*c)

Ici avec la loi "-" tu dois donc vérifer, pour 1,5 et 6 par exemple que
(1-6)-5 = 1-(6-5)
ce qui est clairement faux.

[Bleyblue]

Au niveau de la définition c'est juste un déplacement de parenthèses, et non pas d'éléments!

Ah. Ca s'éclaircit alors... c'est drôle comme je sèche pour des choses simples parfois

Quand tu fais A U E, tu trouves E, pas A

Pardon oui, le neutre c'est l'ensemble vide.

Mais il n'y a pas d'inverse donc vous dites ?

merci

[doryphore]

Soit A une partie non vide de E et x un élément de A.

Pour tout sous ensemble B de E, x appartient à "A union B" donc "A union B" est différent de l'ensemble vide.

On dit que le seul élément inversible de P est l'ensemble vide or pour avoir une structure de groupes, il faut que tous les éléments soient inversibles.

[Bleyblue]

d'accord merci.

Mais alors j'ai essayé avec ceux ci aussi:

b)P E,
c)P E, \ (c'est à dire la différence : A\B = (A ET non B)
d)P E, (c'est à dir le ou exclusif)

Pour le b) je n'ai pas d'inverse (même si j'ai un neutre), le C) je n'ai pas de neutre et le d) je n'ai pas non plus de neutre donc aucune de ces structures ne forment des groupes pour l'opération considérée.

C'est bon ou je me suis trompé ?

merci

[GuYem]

Pour le c) je crois que le vide est neutre, mais aprés il n'y a pas d'inverse.

Pour le reste c'est bon.

[erik]

Pour le d) (P(E) muni de la différence symétrique) c'est un groupe.
Je te laisse un peu chercher quel est le neutre.

[GuYem]

Pour le d) (P(E) muni de la différence symétrique) c'est un groupe.
Je te laisse un peu chercher quel est le neutre.

oops tu as bien raison ; autant pour moi.

On l'utilise tellement pas souvent ce groupe...

[Bleyblue]

Pour le c) je crois que le vide est neutre, mais aprés il n'y a pas d'inverse.

Ah ? Mais pourtant si j'ai un sous ensemble A alors :

A\ {} = A

tandis que

{} \ A = {}

non ?

merci