Groupes

[Bleyblue]

Bonjour,

J'essaie de m'entraîner un peu avec des exercices sur les groupes parcequ'il m'arrive encore de me planter en vérifiant les axiomes pour un ensemble donné (c'est mal ! )

Vous n'auriez pas des exercices à proposer ? J'ai ceux de mon cours mais il n'y en a pas des masses ...

Sinon je peux toujours essayer de chipoter par moi même, une première question :

Si je prend l'ensemble {0,1,2,3,4,5,6,7} muni de la multiplication modulo 7 je n'ai pas un groupe parce que zéro n'a pas d'inverse (le neutre étant 1)

Mais rien ne m'empêche de définir 0*0 = 1 je pense
De cette manière j'ai bien un groupe de neutre 1.

non ?

merci
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[invite35452583]

0 est absorbant pour la multiplication
Dans un groupe, on a a*b=a*c implique b=c ce qui est contredit ici si on garde la multiplication pour 0.

Refaire tous les produits pour l'élément 0?
Impossible :
soit G le groupe ainsi créé, (*: éléments non nulsest un sous groupe de G par définition.
Mais son ordre est égal à 7 et ne divise pas l'ordre de G (=8). C'est donc totalement impossible.

Pour les exos?? Il doit quand même y en avoir quelques uns sur ce forum, non?

[GuYem]

Salut.

Déjà le 7 ne sert pas à grand chose dans ton ensemble.

Et surtout si tu mets 0*0=1 et 0*a = 0 pour a non nul alors tu perds l'associativité. Car pour c différent de zero :

(0*0)*c = 1*c = c
et
0*(0*c) = 0*0 = 1

donc l'associativé est perdue.

EDIT elle est perdue si il y a d'autes éléments que 0 et 1 dans le groupe, {0,1} avec 0*0 = 1, 0*1=1*0=0 et 1*1=1 est un groupe de neutre 1.

[Bleyblue]

Dans un groupe, on a a*b=a*c implique b=c

En vertu de quel axiome ?

Car pour c différent de zero :

(0*0)*c = 1*c = c
et
0*(0*c) = 0*0 = 1

Effectivement je n'y avais pas pensé ...

Déjà le 7 ne sert pas à grand chose dans ton ensemble.

Oui c'est une erreur de ma part il ne devrait pas s'y trouver

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

En vertu de quel axiome ?

Oui l'associativité, c'est ce qu'a dit Guyem

merci

[invitec314d025]

En vertu de quel axiome ?

Chaque élément ayant un inverse, si tu as a*b = a*c, il suffit de multiplier à gauche par l'inverse de a.

[Bleyblue]

Chaque élément ayant un inverse, si tu as a*b = a*c, il suffit de multiplier à gauche par l'inverse de a.

Ah oui en effet
Mais de toute façon si ce n'est pas le cas l'associativité n'est plus vérifiée je pense ...

[GuYem]

Tu peux avoir l'associativité sans voir l'inversibilité de chaque élément, et inversement.

C'est l'inverse qui se passe dans ton cas, tous les éléments sont inversibles mais ce n'est plus associatifs, sauf dans le cas ou tu travailles modulo et non pas 7 (ou autre chose) comme j'ai marqué plus haut.

[Bleyblue]

Tu peux avoir l'associativité sans voir l'inversibilité de chaque élément, et inversement.

Je le sait bien mais je me trompe souvent en vérifiant un axiome.
Ici par exemple je me suis dit que ma petite modification concernant le zéro ça n'allait rien changer à l'associativité, erreur ...

Pour les exos?? Il doit quand même y en avoir quelques uns sur ce forum, non?

J'ai chercher mais je n'en vois pas, ou alors ils ne sont pas de mon niveau
Moi j'aimerais des exercices pas trop difficiles ou je dois vérifier qu'un ensemble est bien un groupe par exemple ...

merci

[GuYem]

Tu peux prendre un réel a strictement positif et vérifie que l'ensemble des a^n, n dans Z est un groupe pour la multiplication.

[Bleyblue]

- C'est bien interne et partout définit (aⁿ . a^k = a^{n + k} )

- C'est associatif

- Le neutre est a⁰

- L'inverse est a^-n

C'est bon ?

merci

[invitedef78796]

Salut,

Tu peux créer tes propres exos sinon il y en a plein qui traînent sur la toile :

-R muni d'une loi T : xTy=racine cubique (x^3+y^3) montrer que c'est un groupe, est-il isomorphe à (R,+) ?

- Montrer que le centre d'un groupe G (ensembles des éléments qui commutent avec tous les élements du groupe) est un groupe.

-Vérifier que l'ensemble des isomorphismes d'un groupe dans lui même est un groupe pour o.

-w une racine de l'unité g={w^k, k décrivant Z} est un groupe pour *

Bref... tu peux en trouver plein (cf google )

[GuYem]

Ca a l'air

Prends G un groupe (pas forcément commutatif), H un sous groupe de G qui vérifie que pour tout g dans G; et montre que l'ensemble est un groupe pour la loi

Note : partout où j'écris des trucs du genre gH c'est , gH est un ensemble.

[Bleyblue]

Salut,

Tu peux créer tes propres exos sinon il y en a plein qui traînent sur la toile :

-R muni d'une loi T : xTy=racine cubique (x^3+y^3) montrer que c'est un groupe, est-il isomorphe à (R,+) ?

- Montrer que le centre d'un groupe G (ensembles des éléments qui commutent avec tous les élements du groupe) est un groupe.

-Vérifier que l'ensemble des isomorphismes d'un groupe dans lui même est un groupe pour o.

-w une racine de l'unité g={w^k, k décrivant Z} est un groupe pour *

Bref... tu peux en trouver plein (cf google )

Malheureusement lorsque je dit facile c'est vraiment facile, en l'occurence je ne sais pas encore ce que c'est qu'un isomorphisme

Mais c'est vrai que je peux essayer de créer mes propres exercices ...

Je vais essayer ton exercice Guyem

Un grand merci !

[invitedef78796]

Ca a l'air

Prends G un groupe (pas forcément commutatif), H un sous groupe de G qui vérifie que pour tout g dans G; et montre que l'ensemble est un groupe pour la loi

Bien vu, sous son apparence d'exercice comme les autres il permet de montrer que tout sous-groupe distingué (gHg^-1=H) permet de créer un groupe quotient G/H, c'est vrai que ça fait un bon exo.

[invitedef78796]

Malheureusement lorsque je dit facile c'est vraiment facile, en l'occurence je ne sais pas encore ce que c'est qu'un isomorphisme
Un grand merci !

Un morhisme entre deux groupes (G1,T1) et (G2,T2) est une application de G1 dans G2 telle que :

pour tout (x,y) f(x T1 y)=f(x) T2 f(y) (en gros il est gentil avec les lois internes)

Si il est bijectif on parle d'isomorphisme.

[Bleyblue]

Un morhisme entre deux groupes (G1,T1) et (G2,T2) est une application de G1 dans G2 telle que :

pour tout (x,y) f(x T1 y)=f(x) T2 f(y) (en gros il est gentil avec les lois internes)

Si il est bijectif on parle d'isomorphisme.

C'est amusant comme propriété, ça fait penser aux logarithmes ...

merci

[GuYem]

Le logarithme est comme qui dirait un morphisme du groupe R+* avec la multiplication sur le groupe R avec l'addition.

Et l'exponentielle est comme qui dirait un morphisme du groupe R avec l'addition sur le groupe R+* avec la multplication, étonnant ?

[Bleyblue]

Et l'exponentielle est comme qui dirait un morphisme du groupe R avec l'addition sur le groupe R+* avec la multplication, étonnant ?

Pas vraiment je pense, ça résulte du fait que a^{x + y} = a^xa^y et aussi du fait que le domaine de l'application x -> a^x est R et son domaine R+* ...

merci

[Bleyblue]

Tenez un truc amusant à démontrer :

Si p est un nombre premier alors \{0},.; forme un groupe.

Pour que tout élément possède un inverse il faut que :

(1 étant le neutre)

Par le théorème de Gauss il faut pgcd(x,p) = 1 et ceci doit être vérifier pour tout x dans l'ensemble.

Comme Z_p\{0} contient tous les éléments de 1 à p et qu'aucun ne divise p ce dernier est premier.

Ca me semble bon mais je ne sais pas démontrer le théorème de Gauss ...

merci

EDIT : Il faudrait aussi vérifier l'associativité et le fait que l'opération soit internet et partout définie ...

[GuYem]

Z_p \ {0} est en effet un groupe pour p premier.

Comme Z_p est déjà un groupe pour la loi plus modulo p, cela fait de Z_p un corps. On l'appelle plus souvent F_p.

Pour montrer que tout élément x a un inverse, il me semble qu'un petit coup de Bezout sur x et p qui sont premiers entre eux puisque p est premier et x<p donne
ux + vp = 1 et que u (ou du moins sa classe modulo p )est un bon candidat pour être l'inverse de x.

[Bleyblue]

Ah oui, mais le théorème de Bézout j'ai entendut parler mais je ne connais pas encore (encore beaucoup à apprendre moi )

Et si p n'est pas premier alors ? On ne peut pas savoir si Z_p est un groupe ?

merci

[GuYem]

Si p n'est pas premier, Z_p \ {0} n'est pas un groupe en général.
Dans Z/4Z \ {0} = {1,2,3} par exemple, 2 n'a pas d'inverse :
2*1 = 2
2*2 = 0
2*3 = 2

[Bleyblue]

D'accord merci

[invite35452583]

Désolé pour ma réponse un peu courte, je pensais que tu connaissais mieux la théorie des groupes.

Quelques exercices :
E un ensemble P(E) l'ensemble des parties de E
1) l'intersection est-elle une loi de groupe sur P(E)
2) l'union disjointe =la partie de E formé des éléments appartenant à A mais pas à B ou appartenant à B mais pas à A.
Sont-ils abéliens (commutatifs)?

E un ensemble I(E) l'ensemble formé par les bijections de E dans lui-même.
La loi de composition des fonctions (gof(x)=g((fx)) définit-elle un groupe sur I(E)?
Ce groupe est-il abélien.

Cas particuliers : pour les isométries du plan, cette loi de composition définit-elle un groupe?

est-il un groupe?

Plus délicat mais fait bien manier les axiomes :
Montrer que sur l'ensemble
on peut étendre les relations suivantes :
1 est l'élément neutre
(-1)²=1
i²=j²=k²=-1
i.i'=j.j'=k.k'=1
i.j=k (c'est une aide : on peut montrer que i.j=k ou k', tu peux essayer de le retrouver)
à une loi de groupe?
Idée : supposer que . est une loi de groupe, établir la table des produits.
Puis vérifier les axiomes (il peut être intéressant d'avoir repéré le centre, càd les éléments qui commutent avec tous les autres, avant)

[Bleyblue]

Merci, j'essaierai ces exercices demain probablement

[invitec314d025]

Personnellement, je te conseillerais plutôt de commencer par des exercices sur les lois de composition interne avant de faire des exercices spécifiques aux groupes. Il doit y en avoir un ou deux qui trainent sur le forum, et sinon on peut en donner d'autres.

[Bleyblue]

Loi de composition interne ? Vérifier qu'une loi est interne pour un ensemble d'éléments c'est cela ?

merci

[invitec314d025]

Oui enfin on peut faire un peu plus que vérifier qu'on a bien affaire à une loi de composition interne. Ce qui est intéressant c'est de regarder séparément ce qu'apportent les différentes propriétés d'une loi (associativité, commutativité, distributivité par rapport à une autre loi, compatibilité avec une relation binaire, etc).

[Bleyblue]

Tiens si je dois montrer que si j'ai un groupe G,+,0; alors l'équation suivante :

A = (A + A) (A appartient à G)

n'admet que le neutre zéro comme solution il suffit que j'additionne A^-1 dans les deux membres ?

J'aurais donc 0 = 0 + A -> A = 0 ?

merci