Groupes

[GuYem]

Ca parait correct

Quand le groupe est noté additivement, on note plutôt -A au lieu de A^-1
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[Bleyblue]

D'accord merci

Encore une petite chose :

Je cherche à savoir si l'ensemble G des triples de réels (a,b,c) tels que a² + b² + c² = 1 munis de l'addition ((a,b,c) + (d,e,f) = (a + d, b + e, c + f) ) forme un groupe

Moi je dis non car si je considère A = (0,0,1) et B = (1,0,0) (A et B appartiennent bien à G) alors A + B ne satisfait pas à a² + b² + c² = 1.

Par contre si je prend G égale à l'ensemble des triples (a,b,c) tels que a + 2b - c = 0 alors :

A = (a,b,c) -> a + 2b - c = 0 (*1)
B = (d,e,f) -> a + 2e - f = 0 (*2)

A + B = (a + d, b + e, c + f)

et si j'additionne (*1) et (*2) j'ai bien (a + d) + 2(b + e) - (c + f) = 0

C'est bon comme justification ?

merci

[invitec314d025]

Tu as juste montré que l'addition que tu as définie est bien une loi de composition interne, pas que tu avais un groupe.

[Bleyblue]

Oui effectivement j'ai été un peu vite

merci

[Bleyblue]

Tenez si j'ai le groupe d'une part et le groupe (n naturel > 1), (c'est à dire le sous-groupe de Z formé des multiples de n) le premier groupe est bien isomorphe au second non ?

Parceque si je considère la bijection elle satisfait bien f(a + b) = f(a) + f(b)

non ?

merci

[invite6b1e2c2e]

Oui. (Avec du blabla dans les prenthèses pour pas faire un message trop court, même si le contenu sémantique est plus fort que certains de ces spams de m**** qu'on reçoit en si grande quantité... )

__
rvz

[Bleyblue]

Je suis bien d'accord, les spams ça devient vraiment agaçant

Sinon je peux aussi généraliser, les groupes et (n m des entiers naturels) sont isomorphes :

est bien une bijection qui satisfait f(a + b) = f(a) + f(b)

?

merci bien

[GuYem]

Salut, ta bijection parait bizarre : elle n'atterit pas forcément dans l'ensemble d'arrivée !

Ce serait plutôt simplement m.z --> n.z

[Bleyblue]

mince, oui bien sûr c'est ce que je voulais dire
Mon erreur vient du fait que, partant de mz, il faut diviser par m puis multiplier par n pour obtenir nz ...

ok, merci !

[Bleyblue]

J'essaie de faire l'exercice n°1 de cet examen :

http://www.ulb.ac.be/facs/sciences/m...rso/Mai04d.pdf

plus particulièrement le point iii)

Sachant que
- d est le neutre (vu que b*d = b)
- un élément ne peut apparaître qu'une et une seule fois sur chaque ligne

je peux compléter ça comme ça déja :

*|a b c d e f
-----------------
a|d ? ? a ? ?
b|? ? d b ? a
c|f d e c a b
d|a b c d e f
e|b c a e f d
f| ? ? ? f d e

Mais pour trouver les autres "?" je fais comment ?
Avez vous une idée ?

merci

[invité576543]

Avez vous une idée ?

merci

Par exemple, si ca = f, alors a^-1 c^-1 = f^-1, soit ab = e

Cordialement,

[Bleyblue]

Ah oui bien vu

merci !

[Bleyblue]

Et ça donne donc :

*|a b c d e f
-----------------
a|d e f a b c
b|e f d b c a
c|f d e c a b
d|a b c d e f
e|b c a e f d
f| c a b f d e

Donc il est évident que le groupe
1) Est commutatif (car la table est symétrique par rapport à la diagonale)
2) Est cyclique car engendré par (par exemple) b

n'est ce pas ?

merci

[GuYem]

Ca m'a l'air correct

[Bleyblue]

D'accord merci bien !

[GuYem]

Au passage, tu remarqueras que ton groupe est isomorphe à Z/6Z.

[Bleyblue]

Qu'est ce que c'est Z/6Z ? (je ne connais pas la notation)
C'est {0,1,2,3,4,5} muni de l'addition modulo 6 je suppose ...

merci

[GuYem]

C'est cela-même.