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intégrale et convergence



  1. #1
    legos

    Post intégrale et convergence


    ------

    Bonjour à tous,
    je fais appel à vous car j'ai un exo que j'ai du mal à résoudre et j'espère que vous pourrez m'aider. Donc voila mon problème :
    je dois montrer que l'intégrale généralisée / (ln(x²+t²)/(x²+1))dx
    /[0;+inf[
    est convergente en comparant l'intégrant à (1/x^(3/2)) .
    A vrai dire je ne vois pas comment commencer, j'étais parti de ln(x²+t²)>= 2 lnx et ln x < x^(1/p) pour p>1 mais je crois être parti dans une impasse.

    Merci =)

    -----

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  3. #2
    Rouliane

    Re : intégrale et convergence

    Bonjour,

    Tu peux montrer qu'au voisinage de +oo, .

    et

    Tu conclues avec les théorèmes de comparaisons.

    Y'a peut-etre aussi un problème au voisinage de 0 suivant les valeurs que peut prendre t ( mais j'imagine qu'il est strictement positif ? )

  4. #3
    legos

    Re : intégrale et convergence

    Merci de ta réponse Rouliane,
    Mais excuse moi, je ne comprend pas la notation "o =".
    Sinon, oui t est strictement positif.

  5. #4
    Rouliane

    Re : intégrale et convergence

    C'est le "petit o".

    on a f=o(g) si lim(f/g)=0.

    Et on a un théorème qui dit que si f et g sont à valeurs positives, et au point a, f=o(g) et g intégrable en a alors f intégrable en a.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    legos

    Re : intégrale et convergence

    Ok, mais il y a plusieurs points que je comprend pas
    1. je ne comprend pas très bien l'utilité de démontrer l'expression
    ln(x²)/x² =o 1/x^(3/2), qu'est ce que le résultat va-t-il amener à conclure.
    2.Ensuite, tu dis, je cite "Tu conclues avec les théorèmes de comparaisons", là je ne vois pas très bien comment procéder justement, je pensais à la base partir d'une inéquation genre lnx²<x² mais ça m'amène dans un cul de sac :/.
    Donc voilà, j'espère que tu pourras répondre à mes questions.
    merci

  8. #6
    Rouliane

    Re : intégrale et convergence

    N'oublie pas la valeur absolue autour du ln !

    Vu que x --> 1/x^(3/2) est intégrable au voisinage de +oo, alors d'après les théorèmes de comparaison, x--> |ln(x²)/x²| est intégrable au voisinage de +oo, et par suite |f| l'est donc f l'est .
    Il suffit de connaitre le théorème de comparaison avec les "petits o".

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  10. #7
    ericcc

    Re : intégrale et convergence

    Tu sais qu'à l'infini 1/x^a est intégrable si a>1, donc tu cherches à montrer que ta fonction est inférieure à 1/x^a à l'infini
    Tu as ln(x²+t²)/(x²+1), qui est équivalente à 2ln(x)/x². Il suffit de montrer que ln(x)<rac(x) à l'infini...

  11. #8
    Rouliane

    Re : intégrale et convergence

    Oui effectviement s'il a pas vu les petit o c'est mieux qu'il fasse comme ça.

  12. #9
    legos

    Re : intégrale et convergence

    Ok merci, Il y a aussi le coefficient 2 qui n'apparait pas dans l'inéquation, comment puis-je faire?
    merci

  13. #10
    Rouliane

    Re : intégrale et convergence

    Le 2 est là et ne change rien.

    ps : c'est une inégalité, pas une inéquation.

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