Exercice sur théorie des ensembles, injection, surjection

[invite0f34eb03]

Bonjour à tous,

Voilà, j'ai comme qui dirait un bon gros problème sur un exo de maths, et je bloque vraiment dessus, il me pose plus de problèmes que les autres

Je vous écris l'énoncé ici, si vous pouviez me donner quelques indications et m'aider dans les résonnements, ça m'aiderait vraiment beaucoup !

Soit E, un ensemble, A et B deux parties de E, et f: P(E) -> P(A) * P(B) l'application définie par f(X) = (AnX, BnX)
a) Montrer que f est surjective si et seulement si AnB= ensemble vide (On pourra utiliser pour tout x appartenant à A, ({x},ensemble vide) appartient à Imf)
b) Montrer que f est injective si et seulement si AUB=E
c) Dans le cas ou f est bijective, explicitez f ^-1

On suppose maintenant que E est un ensemble fini, que AnB=ensemble vide, et que AUB=E. On note p le cardinal de A et q celui de B. Déduire de ce qui précède que pour tout r appartenant aux entiers naturels inférieur ou égal ) p et q, on a :

"Somme de i=0 à r (i parmi p)(r-i parmi q)=(r parmi p+q)

Calculez en particulier "Somme de i=0 à n (i parmi n)²

Et en déduire "Somme de i=0 à n : [(2n)!] / [(i!)²[(n-i)!]²]

Voilà, je nage vraiment beaucoup, même avec les indications qu'ils ont pu donner à certains points

Je peux si nécessaire, pour plus de compréhension de l'énoncé, scanner l'exercice concerné (mais je ne sais pas si c'est possible sur ce forum, j'ai donc recopié l'énoncé pour avoir aucun probleme!)

Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider, ENORME merci meme
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[invite78df7f0b]

Salut,
je t'explique la première question, essaie d'en déduire un peu les idées pour faire les autres:
(=>): si f est surjective, alors (ensemble vide,B) a un antécédent par f, ie il existe une partie X de E telle que AnX=vide et BnX=B. Donc cette partie contient B, et elle n'intersecte pas A. En particulier B n'intersecte pas A ie AnB=vide.
(<=): si AnB=vide: soit Y une partie de A et Z une partie de B. Tu considères la partie X de E: X=YUZ. Alors tu as AnX=An(YUZ)=(AnY)U(AnZ) or Z est un partie de B et AnB=vide, donc AnZ=vide. Donc AnX=AnY=Y puisque Y est incluse dans A. De même tu montres que BnX=Z, et ainsi tu as: (Y,Z)=f(X), donc f est surjective.
Ce qu'il faut voir ici, c'est que quand AnB=vide, tu peux, avec une partie X de E, construire par intersections avec X des parties de A et de B de manière indépendante. Si AnB est non vide par exemple si AnB contient un élément a, alors il n'est pas possible de trouver une partie X de E dont l'intersection avec A contient a, mais dont l'intersection avec B ne contient pas a. Tu ne peux pas construire indépendemment des parties de A et de B dans ce cas.

[invite986312212]

l'idée c'est que la fonction f cherche à caractériser une partie X de E par ses intersections avec A et B. Si A et B "ne couvrent pas E" on voit bien que des X différant sur la partie non couverte (E-AnB) donneront la même image par f qui ne sera pas injective. Si AnB n'est pas vide, les intersections de X avec A et B doivent être "compatibles" sur AnB et donc il sera facile de construire une partie de P(A)xP(B) qui ne peut être l'image d'aucune partie de E.
Reste à formaliser tout ça...