surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

[invite56460777]

Bonjour,

On a un ensemble M = {1, 2, 3}

Toutes les applications de M sur M, qui sont surjectives, sont-elles alors dans ce cas précis aussi bijectives?
De même, toutes les applications de M sur M, qui sont injectives, sont-elles aussi toutes bijectives?
En bref les applications surjectives et injectives seraient les mêmes dans ce cas précis.

J'y mettrais presque ma main au feu du fait qu'on a trois éléments au départ et qu'il y a aussi trois éléments dans l'ensemble d'arrivée.
Qu'en pensez-vous?
-----

[invite88ef51f0]

Salut,
Ca ne marche pas car ton ensemble d'arrivée n'est pas forcément égal à l'image de l'ensemble de départ.
Par exemple si tu prends f qui à 1,2 et 3 associe 1, alors f(M)={1}. La fonction f n'est pas bijective.

[invite56460777]

Salut,
Ca ne marche pas car ton ensemble d'arrivée n'est pas forcément égal à l'image de l'ensemble de départ.
Par exemple si tu prends f qui à 1,2 et 3 associe 1, alors f(M)={1}. La fonction f n'est pas bijective.

Dans ce cas, on a :

f(1)= 1
f(2)= 1
f(3) = 1

f n'est pas injective, car 1 a plusieurs antécédents et elle n'est pas non plus surjective car ni deux ni trois n'ont d'antécédents?

Ma question pour la formuler autrement est: Existe t-il une application f de {1,2,3} sur {1,2,3} qui soit surjective sans être injective? Inversement existe t-il une application f de {1,2,3} sur {1,2,3} qui soit injective sans être surjective? Personnellement je n'en vois pas.

[invite88ef51f0]

Effectivement, si ta fonction est surjective ou injective et que les ensembles d'arrivée et de départ sont finis de même cardinal alors ta fonction est bijective. (La surjectivité et l'injectivité te donnent chacune une inégalité différente sur les cardinaux de tes ensembles, l'égalité correspondant à la bijectivité)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Euh... voilà que je me fais avoir aussi ! Remplace tous les "ensembles d'arrivée" de mon message précédent par "image de l'ensemble de départ"

[invite51f4efbf]

Bonjour,

On a un ensemble M = {1, 2, 3}

Toutes les applications de M sur M, qui sont surjectives, sont-elles alors dans ce cas précis aussi bijectives?
De même, toutes les applications de M sur M, qui sont injectives, sont-elles aussi toutes bijectives?
En bref les applications surjectives et injectives seraient les mêmes dans ce cas précis.

J'y mettrais presque ma main au feu du fait qu'on a trois éléments au départ et qu'il y a aussi trois éléments dans l'ensemble d'arrivée.
Qu'en pensez-vous?

J'en pense que oui : si une application entre deux ensembles finis de même cardinalité est injective ou surjective, alors c'est une bijection (c'est un classique simple à démontrer). Par exemple si f est injective, la cardinalité de l'image est celle de l'ensemble de départ. Ainsi, l'image contient autant d'éléments que l'ensemble d'arrivée, et tu as la surjectivité. Je te laisse trouver l'argument pour surjective => bijective

[invite56460777]

J'avais juste cru remarqué cette propriété pour deux ensembles de cardinal 3. Je ne pensais pas qu'on pouvait généraliser aux ensembles finis. On n'a pas encore vu la notion de cardinal, mais je vais essayer d'examiner tout ca.

[invitea48de938]

hop petit post rapide : un ensemble est de cardinal n (entier naturel c mieux) ssi il est en bijection avec [|1;n|] (les traits bizarres sont sensés représenter le fait ke je désigne par là l'ensemble des entiers naturels entre 1 et n) hoplà
(Remarquee rigolote : un ensemble en bijection avec l'une de ses parties est infini )

[invite56460777]

Faut-il que f soit bijective pour que f(A U B) = f (A) U f(B)? A et B étant deux ensembles et Pourquoi?

Si f n'est pas bijective est ce qu'il n'y a une inclusion que dans un sens?

[invite206bb45f]

Euh... voilà que je me fais avoir aussi ! Remplace tous les "ensembles d'arrivée" de mon message précédent par "image de l'ensemble de départ"

"ensemble d'arrivee" etait bon. Avec "image de l'ensemble de départ" la condition revient a dire que la fonction est surjective, ce qui marche aussi d'ailleurs...

[invite206bb45f]

Au fait, dans le meme genre, connaissez vous le joli petit exercice suivant : montrer que tout anneau integre fini est un corps.

[invite4793db90]

Au fait, dans le meme genre, connaissez vous le joli petit exercice suivant : montrer que tout anneau integre fini est un corps.

A ne pas confondre avec le théorème de Wedderburn, qui est beaucoup plus malaisé à démontrer!