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surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée




  1. #1
    Brumaire

    surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    Bonjour,

    On a un ensemble M = {1, 2, 3}

    Toutes les applications de M sur M, qui sont surjectives, sont-elles alors dans ce cas précis aussi bijectives?
    De même, toutes les applications de M sur M, qui sont injectives, sont-elles aussi toutes bijectives?
    En bref les applications surjectives et injectives seraient les mêmes dans ce cas précis.

    J'y mettrais presque ma main au feu du fait qu'on a trois éléments au départ et qu'il y a aussi trois éléments dans l'ensemble d'arrivée.
    Qu'en pensez-vous?

    -----


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  3. #2
    Coincoin

    Re : surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    Salut,
    Ca ne marche pas car ton ensemble d'arrivée n'est pas forcément égal à l'image de l'ensemble de départ.
    Par exemple si tu prends f qui à 1,2 et 3 associe 1, alors f(M)={1}. La fonction f n'est pas bijective.
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    Brumaire

    Re : surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    Citation Envoyé par Coincoin
    Salut,
    Ca ne marche pas car ton ensemble d'arrivée n'est pas forcément égal à l'image de l'ensemble de départ.
    Par exemple si tu prends f qui à 1,2 et 3 associe 1, alors f(M)={1}. La fonction f n'est pas bijective.
    Dans ce cas, on a :

    f(1)= 1
    f(2)= 1
    f(3) = 1

    f n'est pas injective, car 1 a plusieurs antécédents et elle n'est pas non plus surjective car ni deux ni trois n'ont d'antécédents?

    Ma question pour la formuler autrement est: Existe t-il une application f de {1,2,3} sur {1,2,3} qui soit surjective sans être injective? Inversement existe t-il une application f de {1,2,3} sur {1,2,3} qui soit injective sans être surjective? Personnellement je n'en vois pas.


  5. #4
    Coincoin

    Re : surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    Effectivement, si ta fonction est surjective ou injective et que les ensembles d'arrivée et de départ sont finis de même cardinal alors ta fonction est bijective. (La surjectivité et l'injectivité te donnent chacune une inégalité différente sur les cardinaux de tes ensembles, l'égalité correspondant à la bijectivité)
    Encore une victoire de Canard !

  6. #5
    Coincoin

    Re : surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    Euh... voilà que je me fais avoir aussi ! Remplace tous les "ensembles d'arrivée" de mon message précédent par "image de l'ensemble de départ"
    Encore une victoire de Canard !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Stephen

    Re : surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    Citation Envoyé par Brumaire
    Bonjour,

    On a un ensemble M = {1, 2, 3}

    Toutes les applications de M sur M, qui sont surjectives, sont-elles alors dans ce cas précis aussi bijectives?
    De même, toutes les applications de M sur M, qui sont injectives, sont-elles aussi toutes bijectives?
    En bref les applications surjectives et injectives seraient les mêmes dans ce cas précis.

    J'y mettrais presque ma main au feu du fait qu'on a trois éléments au départ et qu'il y a aussi trois éléments dans l'ensemble d'arrivée.
    Qu'en pensez-vous?
    J'en pense que oui : si une application entre deux ensembles finis de même cardinalité est injective ou surjective, alors c'est une bijection (c'est un classique simple à démontrer). Par exemple si f est injective, la cardinalité de l'image est celle de l'ensemble de départ. Ainsi, l'image contient autant d'éléments que l'ensemble d'arrivée, et tu as la surjectivité. Je te laisse trouver l'argument pour surjective => bijective

  9. #7
    Brumaire

    Re : surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    J'avais juste cru remarqué cette propriété pour deux ensembles de cardinal 3. Je ne pensais pas qu'on pouvait généraliser aux ensembles finis. On n'a pas encore vu la notion de cardinal, mais je vais essayer d'examiner tout ca.

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  11. #8
    K2R RiDdiM

    Re : surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    hop petit post rapide : un ensemble est de cardinal n (entier naturel c mieux) ssi il est en bijection avec [|1;n|] (les traits bizarres sont sensés représenter le fait ke je désigne par là l'ensemble des entiers naturels entre 1 et n) hoplà
    (Remarquee rigolote : un ensemble en bijection avec l'une de ses parties est infini )

  12. #9
    Brumaire

    Re : surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    Faut-il que f soit bijective pour que f(A U B) = f (A) U f(B)? A et B étant deux ensembles et Pourquoi?

    Si f n'est pas bijective est ce qu'il n'y a une inclusion que dans un sens?

  13. #10
    vuibert

    Re : surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    Citation Envoyé par Coincoin
    Euh... voilà que je me fais avoir aussi ! Remplace tous les "ensembles d'arrivée" de mon message précédent par "image de l'ensemble de départ"
    "ensemble d'arrivee" etait bon. Avec "image de l'ensemble de départ" la condition revient a dire que la fonction est surjective, ce qui marche aussi d'ailleurs...

  14. #11
    vuibert

    Re : surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    Au fait, dans le meme genre, connaissez vous le joli petit exercice suivant : montrer que tout anneau integre fini est un corps.

  15. #12
    martini_bird

    Re : surjection, injection ensemble de départ et d'arrivée

    Citation Envoyé par vuibert
    Au fait, dans le meme genre, connaissez vous le joli petit exercice suivant : montrer que tout anneau integre fini est un corps.
    A ne pas confondre avec le théorème de Wedderburn, qui est beaucoup plus malaisé à démontrer!

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