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Injection / surjection / bijection



  1. #1
    fusionfroide

    Injection / surjection / bijection


    ------

    salut,

    pouvez vous m'aider faire cet exo que j'ai eu en colle s'il vous plait ?!

    Soit E et F deux ensembles

    Soit tel que soit bijective.

    Montrer que et sont bijectives.
    ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
    on montre que f est injective puis surjective :

    soit (x,y) appartenant à

    ==> f(x) = f(y) ==> g(f(x)) = g(f(y)) ==> (gof)(x) = (gof)(y) ==> x = y car gof bijective donc f injective.

    Mais je n'arrive pas à montrer que f est surjective. Merci de m'aider.

    -----

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  4. #2
    Ledescat

    Re : Injection / surjection / bijection

    Salut.

    Traduis la surjectivité de fogof, ça va aller tout seul.
    Cogito ergo sum.

  5. #3
    fusionfroide

    Re : Injection / surjection / bijection

    Soit y appartenant à F

    il exite x appartenant à E / y = (gof)(x)

    après ?

  6. #4
    Ledescat

    Re : Injection / surjection / bijection

    Citation Envoyé par fusionfroide Voir le message
    Soit y appartenant à F

    il exite x appartenant à E / y = (gof)(x)

    après ?
    Je t'ai dit la surjectivité de fogof et non gof.
    Cogito ergo sum.

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  8. #5
    fusionfroide

    Re : Injection / surjection / bijection

    est ce qu'on peut faire comme il suit :

    on a bijective donc injective et surjective.

    et bijective donc f surjective
    et bijective donc f est surjective

    Donc f est bijective.

  9. #6
    Ledescat

    Re : Injection / surjection / bijection

    Citation Envoyé par fusionfroide Voir le message
    est ce qu'on peut faire comme il suit :

    on a bijective donc injective et surjective.

    et bijective donc f surjective
    et bijective donc f est surjective

    Donc f est bijective.

    D'où sors-tu que gof et fog sont bijectives ?
    Cogito ergo sum.

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  11. #7
    fusionfroide

    Re : Injection / surjection / bijection

    comme fogof est bijective donc fog est bijective et gof l'est aussi non ?

  12. #8
    Ledescat

    Re : Injection / surjection / bijection

    Citation Envoyé par fusionfroide Voir le message
    comme fogof est bijective donc fog est bijective et gof l'est aussi non ?
    Cette conclusion est aussi hâtive que de dire directement que f est bijective.

    Tu étais bien parti, tu as fait l'injectivité de f, qu'attends-tu pour sa surjectivité ?
    Ne viens pas demander de l'aide si c'est pour ne pas écouter les conseils qu'on te donne...
    Cogito ergo sum.

  13. #9
    fusionfroide

    Re : Injection / surjection / bijection

    Soit y appartenant à F

    il exite x appartenant à E / y = (fogof)(x) ça marche ça ?

  14. #10
    Ledescat

    Re : Injection / surjection / bijection

    Citation Envoyé par fusionfroide Voir le message
    Soit y appartenant à F

    il exite x appartenant à E / y = (fogof)(x) ça marche ça ?
    Puisque fogof est surjective évidemment.
    Donc comment déduire f surjective ? (c'est juste un jeu d'écriture désormais)
    Cogito ergo sum.

  15. #11
    fusionfroide

    Re : Injection / surjection / bijection

    il exite x appartenant à E / y = (fogof)(x)

    ==> y = (fogof)(x) ==> y = f(g(f(x))) . on pose g(f(x)) = X

    on trouvé X appartenant à E / y = f(X) donc f surjective

    alors ?

  16. #12
    Ledescat

    Re : Injection / surjection / bijection

    Citation Envoyé par fusionfroide Voir le message
    il exite x appartenant à E / y = (fogof)(x)

    ==> y = (fogof)(x) ==> y = f(g(f(x))) . on pose g(f(x)) = X

    on trouvé X appartenant à E / y = f(X) donc f surjective

    alors ?
    C'est bien cela.
    Cogito ergo sum.

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  18. #13
    fusionfroide

    Re : Injection / surjection / bijection

    Donc admet donc une réciproque bijective

    On a alors bijective ie bijective d'où est injective
    mais aussi bijective ie bijective donc surjective d'où bijective.

    alors ?

  19. #14
    easythomas

    Re : Injection / surjection / bijection

    Des propriétés utiles :
    u o v injective => v injective
    u o v surjective = > u surjective

    Avec ça tu as tout ce qu'il faut

  20. #15
    M I L A S

    Re : Injection / surjection / bijection

    un grand classique cet exo, je suis tombé dessus en début d'année!
    "Tout est relatif, sauf le relatif, qui est constant et fixe."

  21. #16
    fusionfroide

    Re : Injection / surjection / bijection

    Citation Envoyé par M I L A S Voir le message
    un grand classique cet exo, je suis tombé dessus en début d'année!
    oui, surement. Sauf que quand on arrive sans avoir apprit le cours on est dans la merde

    Merci pour l'aide

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