Injection / surjection / bijection

[fusionfroide]

salut,

pouvez vous m'aider faire cet exo que j'ai eu en colle s'il vous plait ?!

Soit E et F deux ensembles

Soit tel que soit bijective.

Montrer que et sont bijectives.
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on montre que f est injective puis surjective :

soit (x,y) appartenant à

==> f(x) = f(y) ==> g(f(x)) = g(f(y)) ==> (gof)(x) = (gof)(y) ==> x = y car gof bijective donc f injective.

Mais je n'arrive pas à montrer que f est surjective. Merci de m'aider.
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[invitec053041c]

Salut.

Traduis la surjectivité de fogof, ça va aller tout seul.

[fusionfroide]

Soit y appartenant à F

il exite x appartenant à E / y = (gof)(x)

après ?

[invitec053041c]

Soit y appartenant à F

il exite x appartenant à E / y = (gof)(x)

après ?

Je t'ai dit la surjectivité de fogof et non gof.

[A voir en vidéo sur Futura]

[fusionfroide]

est ce qu'on peut faire comme il suit :

on a bijective donc injective et surjective.

et bijective donc f surjective
et bijective donc f est surjective

Donc f est bijective.

[invitec053041c]

est ce qu'on peut faire comme il suit :

on a bijective donc injective et surjective.

et bijective donc f surjective
et bijective donc f est surjective

Donc f est bijective.

D'où sors-tu que gof et fog sont bijectives ?

[fusionfroide]

comme fogof est bijective donc fog est bijective et gof l'est aussi non ?

[invitec053041c]

comme fogof est bijective donc fog est bijective et gof l'est aussi non ?

Cette conclusion est aussi hâtive que de dire directement que f est bijective.

Tu étais bien parti, tu as fait l'injectivité de f, qu'attends-tu pour sa surjectivité ?
Ne viens pas demander de l'aide si c'est pour ne pas écouter les conseils qu'on te donne...

[fusionfroide]

Soit y appartenant à F

il exite x appartenant à E / y = (fogof)(x) ça marche ça ?

[invitec053041c]

Soit y appartenant à F

il exite x appartenant à E / y = (fogof)(x) ça marche ça ?

Puisque fogof est surjective évidemment.
Donc comment déduire f surjective ? (c'est juste un jeu d'écriture désormais)

[fusionfroide]

il exite x appartenant à E / y = (fogof)(x)

==> y = (fogof)(x) ==> y = f(g(f(x))) . on pose g(f(x)) = X

on trouvé X appartenant à E / y = f(X) donc f surjective

alors ?

[invitec053041c]

il exite x appartenant à E / y = (fogof)(x)

==> y = (fogof)(x) ==> y = f(g(f(x))) . on pose g(f(x)) = X

on trouvé X appartenant à E / y = f(X) donc f surjective

alors ?

C'est bien cela.

[fusionfroide]

Donc admet donc une réciproque bijective

On a alors bijective ie bijective d'où est injective
mais aussi bijective ie bijective donc surjective d'où bijective.

alors ?

[invited04d42cd]

Des propriétés utiles :
u o v injective => v injective
u o v surjective = > u surjective

Avec ça tu as tout ce qu'il faut

[invite43bf475e]

un grand classique cet exo, je suis tombé dessus en début d'année!

[fusionfroide]

un grand classique cet exo, je suis tombé dessus en début d'année!

oui, surement. Sauf que quand on arrive sans avoir apprit le cours on est dans la merde

Merci pour l'aide