identité, injection, bijection
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identité, injection, bijection



  1. #1
    invitee2d11fd1

    Lightbulb identité, injection, bijection


    ------

    Soit f: E -> E, une application vérifiant f ° f = f . Comment prouver que si f est injective ou surjective, alors nécessairemenr f=id, ie pour tout x E f(x)=x ???

    -----

  2. #2
    invite6b1e2c2e

    Re : identité, injection, bijection

    Salut aussi,

    f(f(x)) = f(x) donc f(x)=x.

    __
    rvz

  3. #3
    invite4b9cdbca

    Re : identité, injection, bijection

    tout est dit, je pense.
    Reste plus qu'à introduire les hypothèses d'injectivité/surjectivité là dedans

    Au plaisir.

  4. #4
    invitee2d11fd1

    Re : identité, injection, bijection

    oula ! je ne comprend pas bien le passage de f(f(x))=f(x) à f(x)=x
    je ne vois pas non plus ou interviennent injection et surjection dans ce cas...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitea48bae98

    Re : identité, injection, bijection

    f est injective
    donc f(z)=f(y) =>z=y

    remplace par f(x) et x

  7. #6
    ericcc

    Re : identité, injection, bijection

    Je ne pense pas que ce soit vrai pour f surjective (prendre une projection par exemple)

  8. #7
    invitee2d11fd1

    Re : identité, injection, bijection

    ok !
    merci bcp

  9. #8
    invitee2d11fd1

    Re : identité, injection, bijection

    si c'est vrai si f est surjective :
    on a f(f(x))=f(x)
    or si f est surjective, on a y=f(x)
    donc f(y)=y
    donc identité

  10. #9
    ericcc

    Re : identité, injection, bijection

    Supposons que E soit l'espace vectoriel R² et que f est la projection sur le premier vecteur de la base.
    Dit autrement f est la projection sur l'axe des abscisses.

    Alors on a bien f°f=f et cependant, f n'est pas l'identité ?

  11. #10
    invite6b1e2c2e

    Re : identité, injection, bijection

    D'où l'hypothèse de surjectivité. Cf la démonstration plus haut.

    __
    rvz

  12. #11
    ericcc

    Re : identité, injection, bijection

    OK je n'avais pas vu que f était un endomorphisme. Au temps pour moi

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