identité, injection, bijection

[invitee2d11fd1]

Soit f: E -> E, une application vérifiant f ° f = f . Comment prouver que si f est injective ou surjective, alors nécessairemenr f=id, ie pour tout x E f(x)=x ???
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[invite6b1e2c2e]

Salut aussi,

f(f(x)) = f(x) donc f(x)=x.

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rvz

[invite4b9cdbca]

tout est dit, je pense.
Reste plus qu'à introduire les hypothèses d'injectivité/surjectivité là dedans

Au plaisir.

[invitee2d11fd1]

oula ! je ne comprend pas bien le passage de f(f(x))=f(x) à f(x)=x
je ne vois pas non plus ou interviennent injection et surjection dans ce cas...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea48bae98]

f est injective
donc f(z)=f(y) =>z=y

remplace par f(x) et x

[inviteaf1870ed]

Je ne pense pas que ce soit vrai pour f surjective (prendre une projection par exemple)

[invitee2d11fd1]

ok !
merci bcp

[invitee2d11fd1]

si c'est vrai si f est surjective :
on a f(f(x))=f(x)
or si f est surjective, on a y=f(x)
donc f(y)=y
donc identité

[inviteaf1870ed]

Supposons que E soit l'espace vectoriel R² et que f est la projection sur le premier vecteur de la base.
Dit autrement f est la projection sur l'axe des abscisses.

Alors on a bien f°f=f et cependant, f n'est pas l'identité ?

[invite6b1e2c2e]

D'où l'hypothèse de surjectivité. Cf la démonstration plus haut.

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rvz

[inviteaf1870ed]

OK je n'avais pas vu que f était un endomorphisme. Au temps pour moi