Exercice sur injection, bijection, identité

[inviteb9d2e047]

Bonjour à tous !
J'implore votre aidse pour un exercice qui n'a pas l'air super dur a priori mais je bloque quand meme dessus. le voici :

Soit f:E->E une application vérifiant f°f=f.
prouver que, si f est injective ou surjective, on a nécessairement f=id(E), c'est-a-dire pour tout x appartenant a E, f(x)=x.

Moi ça me parait évident car f°f=f donc f(f(x))=f(x) donc f(y)=y donc c'est la fonction identité.
Mon problème c'est que ça me parait pas correct, dautant plus que ça ne fait pas intervenir le fait que f soit injective ou surjective.

Merci pour votre aide !!
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Effectivement ce n'est pas correct en général! %ais c'est quoi E? Un ensemble quelconque, fini, infini?

Ton raisonnement montre que f(y)=y pour tout y qui s'écrit comme f(x). Si c'est toujours possible (càd si f est surjective) ça marche. Sinon...

-- françois

[invite4b9cdbca]

Donc il faut utiliser la propriété de l'injectivité/de la surjectivité.

La première dit que :
soit x et x' tel que f(x)=f(x')
Si f est injective
alors x=x'

La surjectivité dit que pour tout y il existe au moins un x tel que f(x)=y

Et n'oublie pas que f est une fonction de E dans E...

[inviteb9d2e047]

Merci françois !
E était un ensemble quelconque.
en fait l'exercice n'était pas dur mais je l'avais pris à l'envers.
Je me suis meme rendu compte que la meme question avait déja été posée, mais dans ma précipitation je n'ai pas vérifié avant de demander... honte sur moi! lol allez encore merci a++

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