Bonjour
au secours je n'arrive vraiment pas à résoudre ces 2 premières questions d'un problème qui fait plus de 3 pages. merci bcp pour votre aide cela me permettra de continuer
Bijections de N^k sur N
1. Pour tout p de N (entiers naturels), on note
Dp={(x,y) appartenant à N², x+y=p}
Sp={(x,y) appartenant à N², x+y<p}
(a) Vérifier que la famille (Dp)p>o constitue une partition de N2. [S]
(b) Calculer le cardinal dp de l'ensemble Dp, et le cardinal Sp de l'ensemble Sp. [ S ]
2. Dans cette question, on forme une bijection f de N² sur N.
Pour tout couple (x , y) d'entiers naturels,
(x+y)(x+y+1)
on pose f{x, y) = x + ————————
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(a) Vérifier que l'on définit bien ainsi une application de N² dans N. [S]
(b) Montrer que pour tout (x,y) de N2, on a : s x+y ≤ f(x,y) < s x+y+1. [S]
(c) On se donne deux éléments (x,y) et (x',y') de N2, tels que f(x,y) = f(x',y').
Montrer que x + y = x' + y', puis que (x, y) = (x', y'). Conclusion ? [ S ]
(d) Soit n dans N. Montrer qu'il existe un unique p de N tel que Sp ≤ n < Sp+1. [S]
(e) Avec les notations précédentes, calculer f(n-Sp, Sp+1-n-1).
En déduire que f est bijective de N² sur N. [S]
(f) Quel est l'antécédent de l'entier 1000 par l'application f? [S]
(g) Interpréter graphiquement la signification de l'application f. [ S ]
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