demonstration injection/surjection sur les fonctions composées

[inviteef6f1f3a]

Bonsoir,
Une âme généreuse pour m'aider à résourdre cet exercice trop théorique à mon gout:

Soient les fonctions : f : X -> Y et g : Y -> X
et la fonction composée : g°f : X -> X
definit à travers g°f(x) = g(f(x)) pour tout x%X
(ps: % = appartient, j'ai pas trouvé le signe sur le clavier)

La fonction identité idX : X → X associe chaque x%X sur lui même.



(1)Montrez que: si g°f = idX, alors f est injective et g surjective.
(2)Trouvez un cas où g°f = idX et que g ne soit pas injective et f pas surjective.
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[invite88ef51f0]

Salut,
Il faut revenir aux définitions...
Par exemple, pour f injective, prenons x1 et x2 dans X et supposons qu'ils ont la même image par f. Alors f(x1)=f(x2), donc g(f(x1))=g(f(x2)), donc par hypothèse sur gof, x1=x2, youpi !
Pour g surjective, il faut considérer un x dans X et chercher s'il a un antécédent par g, c'est-à-dire un y dans Y tel que g(y)=x. Et bien, il suffit de prendre y=f(x), et ça marche !

[invitec314d025]

Pour la 1, il suffit purement et simplement d'utiliser la définition d'injection et de surjection, il n'y a quasiment rien à faire, pas d'astuces.
Pour la 2, un peu d'imagination.

[Edit: Eh bé Coincoin tu donnes des solutions toutes faites maintenant ? ]

[inviteef6f1f3a]

Salut,
Il faut revenir aux définitions...
Par exemple, pour f injective, prenons x1 et x2 dans X et supposons qu'ils ont la même image par f. Alors f(x1)=f(x2), donc g(f(x1))=g(f(x2)), donc par hypothèse sur gof, x1=x2, youpi !

donc dans l'hypothese, ca veut simplement dire que : g(f(x))= x parce que j'ai pas trop bien saisi l'histoire de "'l'identité"... et pour les contre-exemples
au fait merci coincoin !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteef6f1f3a]

pour l'exemple, j'ai trouvé ceci :

prenons : f(x) = (racine carrée)x ( lol je trouve pas la touche)
et g(x)= x²
bon l'identité est verifiée puisque g(f(x) = x

f n'est pas injective car f(1)=1=g(-1) hum je suis pas sure...
g n'est pas surjective car par exemple ya pas de x tel que f(x)= -4 la je suis sure

c'est bon ?

[inviteef6f1f3a]

pour la non injectivité de f, est ce que l'on peut dire qu'il yen a pas car par exemple -1 n'a pas d'image dans f [dans l'ensemble des réels R] ?