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demonstration injection/surjection sur les fonctions composées



  1. #1
    fallen

    demonstration injection/surjection sur les fonctions composées


    ------

    Bonsoir,
    Une âme généreuse pour m'aider à résourdre cet exercice trop théorique à mon gout:

    Soient les fonctions : f : X -> Y et g : Y -> X
    et la fonction composée : g°f : X -> X
    definit à travers g°f(x) = g(f(x)) pour tout x%X
    (ps: % = appartient, j'ai pas trouvé le signe sur le clavier)

    La fonction identité idX : X → X associe chaque x%X sur lui même.



    (1)Montrez que: si g°f = idX, alors f est injective et g surjective.
    (2)Trouvez un cas où g°f = idX et que g ne soit pas injective et f pas surjective.

    -----

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  3. #2
    Coincoin

    Re : demonstration injection/surjection sur les fonctions composées

    Salut,
    Il faut revenir aux définitions...
    Par exemple, pour f injective, prenons x1 et x2 dans X et supposons qu'ils ont la même image par f. Alors f(x1)=f(x2), donc g(f(x1))=g(f(x2)), donc par hypothèse sur gof, x1=x2, youpi !
    Pour g surjective, il faut considérer un x dans X et chercher s'il a un antécédent par g, c'est-à-dire un y dans Y tel que g(y)=x. Et bien, il suffit de prendre y=f(x), et ça marche !
    Encore une victoire de Canard !

  4. #3
    matthias

    Re : demonstration injection/surjection sur les fonctions composées

    Pour la 1, il suffit purement et simplement d'utiliser la définition d'injection et de surjection, il n'y a quasiment rien à faire, pas d'astuces.
    Pour la 2, un peu d'imagination.

    [Edit: Eh bé Coincoin tu donnes des solutions toutes faites maintenant ? ]

  5. #4
    fallen

    Re : demonstration injection/surjection sur les fonctions composées

    Citation Envoyé par Coincoin
    Salut,
    Il faut revenir aux définitions...
    Par exemple, pour f injective, prenons x1 et x2 dans X et supposons qu'ils ont la même image par f. Alors f(x1)=f(x2), donc g(f(x1))=g(f(x2)), donc par hypothèse sur gof, x1=x2, youpi !
    donc dans l'hypothese, ca veut simplement dire que : g(f(x))= x parce que j'ai pas trop bien saisi l'histoire de "'l'identité"... et pour les contre-exemples
    au fait merci coincoin !!!

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    fallen

    Re : demonstration injection/surjection sur les fonctions composées

    pour l'exemple, j'ai trouvé ceci :

    prenons : f(x) = (racine carrée)x ( lol je trouve pas la touche)
    et g(x)= x2
    bon l'identité est verifiée puisque g(f(x) = x

    f n'est pas injective car f(1)=1=g(-1) hum je suis pas sure...
    g n'est pas surjective car par exemple ya pas de x tel que f(x)= -4 la je suis sure

    c'est bon ?

  8. #6
    fallen

    Re : demonstration injection/surjection sur les fonctions composées

    pour la non injectivité de f, est ce que l'on peut dire qu'il yen a pas car par exemple -1 n'a pas d'image dans f [dans l'ensemble des réels R] ?

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