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Etudier la différentiabilité



  1. #1
    bankiz

    Etudier la différentiabilité


    ------

    Bonjour à tous,

    Je suis confronté au problème suivant :

    Soit la fonction f définie par f(x,y)=(5x3-xy²)/x²+y² si (x,y) différent de (0,0) et f(0,0)=0

    On me demande d'étudier la différentiabilité de f sur R²

    J'utilise donc la formule suivante :

    Epsilon(h,k)= f(x0+h,y0+k)-f(x0,y0)-|hf'x(x0,y0)+kf'y(x0,y0)| / ( racine carré de ( x²+y²)

    Après calcul j'obtient ceci Epsilon = -6hk²/[(h²+k²) Multiplié par ( racine carré de (H²+k²)]

    Je dois calculer la limite de ceci quand (h,k)->(0,0)

    Puis je conclure tout de suite ou dois je passer en polaire ? ou y a til une méthode plus simple pour prouver qu'elle est différentiable en (0,0) ?

    si je passe en polaire j'obtiens Lim de -6 multi par cos teta multi par sin²teta donc je ne peux pas faire tendre Roh vers 0

    Merci d'avance !

    -----

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  3. #2
    ericcc

    Re : Etudier la différentiabilité

    Fais h=k dans ta formule pour epsilon, et tu peux conclure directement

  4. #3
    bankiz

    Re : Etudier la différentiabilité

    Quesqui me permet de poser h=k ?

    dans ce cas j'obtiens epsilon = -3/racine de 2

    dc la lim = -3/racine de 2, j'en conclu que f n'est pas différentiable sur R c'est cela ?

  5. #4
    ericcc

    Re : Etudier la différentiabilité

    Oui tu as trouvé des valeurs de h et k telles que epsilon ne tende jamais vers zéro. Donc elle n'est pas différentiable.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    bankiz

    Re : Etudier la différentiabilité

    ah ok, as tu des cours sur ce cas concret h=k ?

    Merci d'avance !

  8. #6
    ericcc

    Re : Etudier la différentiabilité

    Il n'y a pas de cours. C'est une astuce : pour prouver qu'une fonction de plusieurs variables n'admet pas de limite on trouve des exemples de valeurs de ces variables qui font l'affaire

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