Etudier la différentiabilité

[invite1c1f28d5]

Bonjour à tous,

Je suis confronté au problème suivant :

Soit la fonction f définie par f(x,y)=(5x³-xy²)/x²+y² si (x,y) différent de (0,0) et f(0,0)=0

On me demande d'étudier la différentiabilité de f sur R²

J'utilise donc la formule suivante :

Epsilon(h,k)= f(x₀+h,y₀+k)-f(x₀,y₀)-|hf'_x(x₀,y₀)+kf'_y(x₀,y₀)| / ( racine carré de ( x²+y²)

Après calcul j'obtient ceci Epsilon = -6hk²/[(h²+k²) Multiplié par ( racine carré de (H²+k²)]

Je dois calculer la limite de ceci quand (h,k)->(0,0)

Puis je conclure tout de suite ou dois je passer en polaire ? ou y a til une méthode plus simple pour prouver qu'elle est différentiable en (0,0) ?

si je passe en polaire j'obtiens Lim de -6 multi par cos teta multi par sin²teta donc je ne peux pas faire tendre Roh vers 0

Merci d'avance !
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[inviteaf1870ed]

Fais h=k dans ta formule pour epsilon, et tu peux conclure directement

[invite1c1f28d5]

Quesqui me permet de poser h=k ?

dans ce cas j'obtiens epsilon = -3/racine de 2

dc la lim = -3/racine de 2, j'en conclu que f n'est pas différentiable sur R c'est cela ?

[inviteaf1870ed]

Oui tu as trouvé des valeurs de h et k telles que epsilon ne tende jamais vers zéro. Donc elle n'est pas différentiable.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1c1f28d5]

ah ok, as tu des cours sur ce cas concret h=k ?

Merci d'avance !

[inviteaf1870ed]

Il n'y a pas de cours. C'est une astuce : pour prouver qu'une fonction de plusieurs variables n'admet pas de limite on trouve des exemples de valeurs de ces variables qui font l'affaire