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Différentiabilité d'une fonction



  1. #1
    Bleyblue

    Différentiabilité d'une fonction


    ------

    Bonjour,

    Je dois montrer que la fonction :



    (A est une matrice symétrique n*n et ou <u,v> désigne le produit scalaire de u et v)

    est différentiable en tout point a de Rn et que

    Auriez-vous une idée sur la manière dont je dois procédé ?
    Apparament je dois revenir à la définition de la différentielle :

    f est différentiable en a si :



    et dans ce cas T est la différentielle.

    Mais ça ne m'aide pas des masses moi.
    Je suis sensé calculer explicitement les expressions de f(a + h), f(a) et T(h) ?

    Ca doit être horrible ...

    merci

    -----

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  3. #2
    edpiste

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    développe l'expression de f(a+h)-f(a) à partir de l'expression de f donnée puis regroupe les termes constants (ceux qui ne dépendent pas de h), ceux d'ordre h et ceux d'ordre h^2. Ceux d'ordre h te donnent T et il n'y a plus qu'à appliquer ta formule...

  4. #3
    edpiste

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    Citation Envoyé par Bleyblue Voir le message

    Mais ça ne m'aide pas des masses moi.
    Je suis sensé calculer explicitement les expressions de f(a + h), f(a) et T(h) ?

    Ca doit être horrible ...

    merci
    Bien sûr, il ne faut pas faire un calcul en fonction des coef de A mais rester à un niveau plus formel.

  5. #4
    Gwyddon

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    Se souvenir que l'application linéaire associée à A est linéaire ( ) donc continue en dimension finie, ça peut servir.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    GrisBleu

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    Salut

    Ne cherche pas a tout developper



    L indice utile: "A est symetrique" donc
    . en fait est l adjoint de A.

    Reste plus qu a conclure

    En esperant ne pas m etre trompe
    @+

  8. #6
    Bleyblue

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    C'est bien comme ça que j'ai pensé à faire suite aux remarques d'edpiste et de Gwyddon mais pour ma part je suis bloquer à :

    f(a + h) = <A(a + h), a + h> = <Aa + Ah,a + h> mais après ça ...
    Je pense qu'il faut appliquer les propriétés du produit scalaire (dont je ne me souviens plus ) pour tomber sur :

    <Aa,a> + <Aa,h> + <Ah,a> + <Ah,h>

    et ton o(h) ça désigne <Ah,h> ?

    merci

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  10. #7
    GrisBleu

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    Salut

    Le produit scalaire est bilineaire, ie lineaire a gauche et a droite, cf wikipedia. Donc tu peux ecrire directement
    <A(a+h,a+h>=<Aa,a> + <Aa,h> + <Ah,a> + <Ah,h>

    Ensuite, effectivement

    cad que quand h tend vers 0, tend vers 0. C est un terme d ordre deux et ne compte pas dans le calcul de la differentielle

    si tu as d autres questions

    ++

  11. #8
    Bleyblue

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    Citation Envoyé par wlad_von_tokyo Voir le message
    Salut
    Ensuite, effectivement

    cad que quand h tend vers 0, tend vers 0. C est un terme d ordre deux et ne compte pas dans le calcul de la differentielle
    Ah ok c'était la notion de petit o, je comprends

    Je pense que j'y suis, mais comment pourrais-je justifier que <Ah,h> est en o(h) ? Ca ne me paraît pas évident comme ça ...

    merci !

  12. #9
    Gwyddon

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    Grâce à la bilinéarité du produit scalaire (qui le rend continu en dimension finie) et à la linéarité de A (qui la rend continue aussi, en dimension finie)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  13. #10
    Bleyblue

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    ah, j'ai été revoir mes notes sur les espaces euclidiens (ça date d'il y a longtemps) et j'ai vu que la bilinéarité c'est la propriété :

    ... et ça doit me permette de montrer que <Ah,h> est en o(h) ... ?

    L indice utile: "A est symetrique" donc
    . en fait est l adjoint de A.
    Comment suis-je sensé montrer ça ? Nous n'avons pas encore vu ça au cours d'algèbre linéaire, le prof d'analyse commence vraiment à m'agacer avec ces drôles de travaux

    merci

  14. #11
    GrisBleu

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    Salut

    Pour le petit o, gwyddon me semble avoir donne la reponse, mais c est assez intuitif pour moi: il y a deux h, c est donc d ordre deux, donc negligeable lors du calcul d une differentielle quand l ordre un est non nul

    Sinon, le produit scalaire des vecteurs est "canoniquement"

    Or c est un reel donc la transpose d un reel est le meme reel, ce qui revient a dire que

    Remplace u par Ah et tu as ce que tu veux. Generalement, dans le cas reel, <|> est symetrique

    ++

  15. #12
    Bleyblue

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    Pour la deuxième propriété ça va mais pour le petit o je ne vois pas bien comment le montrer. Une justification uniquement intuitive ne m'avance pas.

    J'ai essayé de développer comme ça :


    mais après je suis de nouveau bloquer

    merci

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  17. #13
    GrisBleu

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    Salut

    Effectivement une justification s impose, mais la dessus l intuition sert pas mal . Sinon, j essaierai quelque chose comme ca:
    par inegalite de schwartz. donc .
    donc .
    La tu peux finir de deux manieres
    - tu connais la theorie des operateurs lineaires dans un espace norme et tu as et donc
    - plus intuitif et bourrin: tu as (verifie le a la mian) ou est une composante de Ah. si c est la composante j, tu peux l ecrire comme le produit scalaire de la ligne j de A par h: et tu appliques l inegalite de schwartz.
    . Encore une fois


    ++

  18. #14
    Bleyblue

    Re : Différentiabilité d'une fonction

    Merci bien, ça va me permettre de terminer mon travail

    (Il faudra aussi que j'aille dire au professeur d'analyse que nous ne sommes pas encore arrivé aussi loin en algèbre linéaire, non mais )

    un grand merci à tous !

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