Application bornée, TVI.

[invitedb2255b0]

Salut, j'ai encore un problème avec mon analyse.

Voilà, je souhaite montrer qu'une fonction continue de R dans R admettant des limites finis en et est bornée.

Oui, je sais c'est d'une simplicité sans égales, mais mon charger de TD nous à fait un dessins pour montrer la chose. Ouahou, génial j'en étais pas convainque ... mais moi j'aime les choses formelles et j'aimerais démontrer rigoureusement ce fait.

L'image d'un intervalle par une application continue est un intervalle (çà c'est l'énoncé du TVI). Ca vas de soi que si cet intervalle est R, la limite ne peux pas admettre de limite infini en tendant vers d'autre valeurs que les infinis (car elle est continue, je crois que c'est justement les fondements de l'analyse) mais je suis toujours pas convaincue par ce type de preuve.

Mon idée étais de considérer que quelques soit A>0, l'intervalle [-A;A] est inclu dans R. et que comme f est continue sur tout R, elle est continue quelque sur l'intervalle [-A;A] quelque soit A>0. Et là j'ai un merveilleux theoreme dans mon cour qui me dit qu'une fonction continue sur un intervalle fermé est borné. Mais je n'arrive toujours pas à formaliser la chose. L'idée ici étais de transformé un intervalle ouvert en un intervalle fermé.

BRef si vous avez une idée... pour rendre la choses rigoureuse ! je suis preneur !

Merci !
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Et là j'ai un merveilleux theoreme dans mon cour qui me dit qu'une fonction continue sur un intervalle fermé est borné.

Il faut que l'intervalle soit à la fois fermé et borné (c'est-à-dire compact) sinon ça ne fonctionne pas.

Plutôt que de commencer par dire que est bornée sur tout intervalle de la forme je pense que tu devrais d'abord montrer qu'elle est bornée sur pour un certain , puis montrer qu'elle est aussi bornée sur pour un certain . Ensuite il suffit de se servir de ton merveilleux théorème pour prouver qu'elle est bornée sur donc sur .