besoin d'aide sur E.Différentielle

[invite55b78f8d]

bonjour
j'ai besoin de votre aide sur cette question




merci d'avance

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[invite61601559]

Comme t>0 on peut poser t=expx >0donc lnt=x et
z(x)=y(t)=y(expx) donne z'(x)=expx*y '(expx) ( ou * est la multiplication ) donc y '( expx)= exp(-x)z '(x)
et z '' (x) = exp(x)*y '(expx) +exp(2x)*y''(expx) on en tire
y''(expx)=z''(x)*exp(-2x)-z'(x)*exp(-2x)

comme y est sol de (E) on remplace t par expx et y' , y"
donc exp(2x)*(z''*exp(-2x)-z'*(exp(-2x)) -3expx*z'exp(-x)+ 4z=(expx)²/( 1+x²) on développe et il restera z"-4z'+4z=exp(2x)/(1+x²) ce que l'on voulait
Reste à mettre les équivalences pour présenter le tout avec rigueur