polynome et TVI

[invite1eae1089]

Bonjour à tous,
j'arrive ici je ne connais pas trop mais je sais que par contre j'ai un problème d'analyse...

Je vous montre mon problème...

Soient n >= 2 un entier, et a et b deux réels. On note P la fonction polynome x |--> x^n+ax+b.
Montrer que l'équation P(x)=0 admet au plus trois solutions dans R, et au plus deux si n est pair.
Pour n donné(et a,b "variables"), quels sont les valeurs possibles pour le nombre de solutions de l'équation P(x)=0.

Voila et j'ai quelques idées mais j'aurais besoin d'une démonstration un peu plus rigoureuse!!je n'arrive pas vraiment à faire les tableaux de variations dans les cas généraux!!et je ne comprends pas trop la deuxieme question...

ca fai déjà quelques temps que je tourne en rond ...
Merci d'avance à tout le monde!
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[invite4c324090]

Derive deux fois, il te reste: n(n-1)x^(n-2) dont le signe depend de x:

Si n est pair, n-2 aussi et tu as une fonction positive, sinon tu as une derivée seconde negative avant 0 negative apres...Discute les valeurs de ta derivée premiere - pour voir s il y a des valeurs positive et negative , a justifier bêtement en citant le TVI- tu recommence et tu auras les resultats pour ta courbe de base...Ca devrait même repondre à la question 2 ...

edit: la question 1 te donne le nombre maximum de solution réelle, et il y a des chances que ça soit moins pour certaines valeurs particulière de tes paramètres...d'où la question 2.

[invite57a1e779]

Bonjour,

je n'arrive pas vraiment à faire les tableaux de variations dans les cas généraux!!

Théorème de Rolle : entre deux racines de P, il y a une racine de P' ; entre deux racines de P', il y a une racine de P''.

[invite1eae1089]

Bonjour,

Théorème de Rolle : entre deux racines de P, il y a une racine de P' ; entre deux racines de P', il y a une racine de P''.

je ne l'ai pas vu du tout comme cela moi le théorème de Rolle et je ne vois pas comment appliquer cela ici???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1eae1089]

Derive deux fois, il te reste: n(n-1)x^(n-2) dont le signe depend de x:

Si n est pair, n-2 aussi et tu as une fonction positive, sinon tu as une derivée seconde negative avant 0 negative apres...Discute les valeurs de ta derivée premiere - pour voir s il y a des valeurs positive et negative , a justifier bêtement en citant le TVI- tu recommence et tu auras les resultats pour ta courbe de base...Ca devrait même repondre à la question 2 ...

edit: la question 1 te donne le nombre maximum de solution réelle, et il y a des chances que ça soit moins pour certaines valeurs particulière de tes paramètres...d'où la question 2.

oui d'accord je vois pour la derivee seconde pas de problème mais coment tu fais pr si n est pair n-2 pair je suis d'accord mais pourquoi ?j'ai une fonction positive ???
Comùent s'est possible que la derrive seconde soit negative avan 0 et apres 0??
A quoi me sert la derivee premiere ici ??

Je dois t'avouer je susi completement paumée là ....
merci d'avance de ton aide!!

[invite57a1e779]

Si a racines , le théorème de Rolle utilisé sur l'intervalle assure que admet une racine dans l'intervalle , et admet au moins racines .
On recommence, et on obtient que admet au moins racines.

Or admet au plus une racine, , et au moins , donc , c'est-à-dire .

Mieux, si pair, alors est strictement positive sur , donc est strictement croissante sur .
Ainsi a au plus une racine, et au moins , donc , c'est-à-dire .