TVI : exercice d'application

[Guillaume69]

Bonjour

Je passe en deuxième année de BCPST et je fais quelques révisions.
Pourriez vous me dire si j'ai bien traité cet exercice ?

est de classe sur

Déterminer

Je cache la solution au cas où quelqu'un veuille chercher l'exercice...

 Cliquez pour afficher

Après intégration par parties on obtient avec

* est continue sur (application du TVI). En majorant cos(n) par 1 on obtient .
On applique le théorème des gendarmes :

* De même on montre que

* est continue sur (application du TVI). On majore par 1 et on obtient facilement .
Théorème des gendarmes :

donc

Je vous remercie d'avance
-----

[FonKy-]

Je pense que tout est bon, sauf que tu devrais plus détailler pour Jn a la fin s'agissant des valeurs absolues, a l'extérieur puis intérieur de l'intégrale. D'ailleurs dans ta double inégalité de fin tu n'en tiens meme pas compte. Comment sait-tu que Jn est positif?

FonKy-

[invite8d322e93]

Ca m'a l'air parfaitement juste, juste un détail : je pense que tu as oublié quelques valeurs absolues par ci par là

Edit : Grilé..

J'ajouterais que tu devrais citer le th. que tu utilises (c'est je crois un corollaire du TVI). A savoir : f' est continue sur [0,1] donc elle est bornée sur cet intervalle (et y atteint ses bornes, mais ici on s'en fout)

[Guillaume69]

Edit : Grilé..

Tant mieux ! je préfère deux avis plutôt qu'un

je pense que tu as oublié quelques valeurs absolues par ci par là

A vrai dire, c'était pas un oubli : je rédige très lentement avec Latex ; et en plus j'ai pas trouvé le symbole valeur absolu sur le clavier mac, donc je faisais des copiés collés à chaque pas et ça m'a vite énervé

f' est continue sur donc elle est bornée sur cet intervalle

C'est pourtant pareil que d'écrire : continue sur avec et
ou : continue sur sur
ou encore : est un segment donc est un segment.

Non ? C'est ce que j'ai écris dans mon cours

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d322e93]

Oui, oui ça s'en déduit sans démonstration (puisque c'est un corollaire ^^) mais notre prof nous a toujours dit de tout développer au max, de citer toutes les hypothèses pour montrer qu'on connait parfaitement tous les résultats du cours. Donc j'ai gardé ces réflex. Mais c'est vrai que l'occurrence c'est pas nécessaire

[FonKy-]

Le mieux c'est que tu dise que ta fonction est C1 sur ton segment, donc la dérivée est continue sur ton segment et donc cette dérivée est bornée, foix de MP

[Guillaume69]

Le mieux c'est que tu dise que ta fonction est C1 sur ton segment, donc la dérivée est continue sur ton segment et donc cette dérivée est bornée, foix de MP

Je m'en souviendrais, foi de bio

Merci à tous les deux

[invite92876ef2]

je trouve que la solution est très bien. juste un petit détail de valeur absolu et correspond à une étape de brûlée (au début) mais il me semble que ça a déjà été dit.
d'autre part, vraiment histoire de ramener ma fraise, "application du TVI" j'aurais plutôt dit "puisque f est continue sur [0;1] elle est bornée sur [0;1]" et là ça fait vraiment appel à la définition d'une fonction bornée.

Mais sinon j'aime beaucoup la rédaction.
bravo !

[Guillaume69]

Merci.

"application du TVI" j'aurais plutôt dit "puisque f est continue sur [0;1] elle est bornée sur [0;1]" et là ça fait vraiment appel à la définition d'une fonction bornée.

C'est pourtant le TVI qui permet de dire ça

est bornée
Elle est où la continuité dans cette définition ?

[inviteaeeb6d8b]

Bonsoir,

euh, là, je ne comprends pas bien... ce que tu écris Guillaume, c'est la définition de "f est bornée", il n'y a pas besoin de TVI

L'argument dont tu as besoin n'est pas le TVI, mais plutôt : si f est continue, alors f(compact) est un compact.

(Pour toi un compact étant un fermé borné)

[Guillaume69]

Bonsoir,

euh, là, je ne comprends pas bien... ce que tu écris Guillaume, c'est la définition de "f est bornée", il n'y a pas besoin de TVI

Oui ! c'est exactement ce que je voulais dire !

Julien semblait inclure la notion de continuité dans la définition de "f est bornée" ! J'ai donc rappelé la définition de "f est bornée" et j'ai posé la question suivante : "elle est où la continuité dans cette définition ?"

Edit : c'est quoi un compact ?

[Guillaume69]

Edit : c'est quoi un compact ?

Je veux dire, c'est un synonyme de segment ?

[inviteaeeb6d8b]

Pour toi, un compact, c'est un fermé borné. Dans un ev-n de DF, les compacts sont les fermés bornés.


Sinon, la définition topologique, c'est : un espace E muni d'une topologie T est compact si et seulement si :
- de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini
- E est séparé

(la première condition s'appelle axiome de Borel-Lebesgue, la deuxième axiome de Haussdorff)

avec Topologie = ensemble des ouverts sur E

je détaille plus ?

Ici,
la norme "valeur absolue" sur R induit sur R une distance et donc aussi une topologie. Les ouverts de R pour cette topologie sont les unions d'intervalles ouverts (ie d'intervalles du type ]a,b[).

Romain

[invitea07f6506]

Pour toi, un compact, c'est un fermé borné. Dans un ev-n de DF, les compacts sont les fermés bornés.

Si le corps est ou ; cette affirmation est fausse pour les -espaces vectoriels, par exemple, et pour muni de la topologie usuelle en particulier. On peut par exemple exhiber des recouvrements de par des ouverts, desquels on ne peut extraire aucun sous-recouvrement fini.

[Guillaume69]

je détaille plus ?

Non non, ne perd pas du temps à ça
La topologie, c'est totalement en dehors du programme de ma filière. Je n'en n'ai jamais fait et je n'ai pas compris un mot de ce que tu as écrit, désolé.

Merci tout de même de t'être donné ce mal

[inviteaeeb6d8b]

Si le corps est ou ; cette affirmation est fausse pour les -espaces vectoriels, par exemple, et pour muni de la topologie usuelle en particulier. On peut par exemple exhiber des recouvrements de par des ouverts, desquels on ne peut extraire aucun sous-recouvrement fini.

Tu as raison Garf, j'ai oublié de mentionner R-ev

Merci tout de même de t'être donné ce mal

De rien !