Bonjour tout le monde :
je dois démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes:
a) f est continues sur [a,b], pour tout k entre f(a) et f(b) il existe c de [a,b] tel que : f(c) = k ==> théorème des valeurs intermédiaires
b) image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle
c) l'image d'un segment est un segment
On peut faire la démonstration par implication, mais je bloque sur c==> a
Merci d'avance pour votre aide !
Si f est strictement croissante, et x appartient à [a,b]
alors f(a) < f(x) < f(b)
donc f(x) appartient à [f(a),f(b)]
Or pour tout y apppartenant à cet interval il éxiste au moins un réel c appartenant à [a,b] tel que f(c) = y
donc par conséquent : f([a,b]) = [f(a),f(b)]
Ca se résume à : la courbe passe par tous les points images de l'interval au moins une fois, et ici une seule et unique fois puisque la fonction est monotone.
Voila pour l'instant, le reste plus tard, la j'ai un bus à prendre...
Merci pour ta reponse mais f n'est pas forcément monotone sur [a,b] !!
Ouais autant pour moi javais mal lu ton énoncé. Si f est monotone, tu utilises les propriétés de la bijections et il n'y a pas de problèmes. Si f ne l'est pas :
1) pour ton premier cas, je dirais juste qu'étant donné que ta fonction est continue, pour aller de a à b, on passe au moins une fois par toutes les valeures comrpises entre f(a) et f(b) (logique) - voir la courbe représentative de nimporte quelle fonction. Ce qui explique que pour k entre f(a) et f(b) tu a au moins un c tel que f(c)=k.
après pour démontrer réigoureusement que tes trois propositions sont équivalentes, je ne vois pas trop comment faire. Au moins la deux implique la trois à mon avis, mais le lien entre la 1 et la 2...
Bonne chance ^^
++
bon la 1ère implication n'est pas très difficile on peut nous baser sur la définition de l'image d'un intervalle, mais pour les autres je voie pas comment non plus !!!
en tout cas merci pour ton aide !
