Trouvé dans un magazine

[invite619f4428]

ABCD = carré de 1cm de coté
Les pts M et N decrivent respectivement les cotes AB et AD tel que AN=BM
Quel est le lieu géométrique du pt I ???

Bon courage !!!! a+
-----

[invite2031b66f]

bonjour,
voui, à première vue ce n'est pas évident comme problème...
mais, ça arrive à tout le monde de se planter, moi le premier d'ailleurs. Ici, quelqu'un a recopié de tavers...
je suis curieux de savoir où as tu trouvé ça, si tu pouvais partager l'info...

merci

[invitec053041c]

Bonjour (déjà).

Doit-on deviner ce qu'est I ?
Si c'est le milieu de [MN], il parcourt visiblement la droite liant les milieux de [AB] et [AD].

[danyvio]

C'est de la belle géométrie. Il faut étudier l'intersection I de MN avec la droite joignant les milieux m1 et m2 de AB et AD.

Appelons J l'intersection de cette dernière droite avec la perpendiculaire à AB passant par M. Comparons les triangles NIm2 et MIJ.

Angle m1JM = pi/4 = Im2N (demi-carrés)
Angle NIm2= MIJ (alt/int)
Les deux triangles ont leurs angles égaux

Nm2=Nm1 (demi côté carré initial - MB)
or m1M=MJ (côtés d'un demi carré)
donc Nm2=MJ.
Les deux triangles ont leurs angles égaux et un côté (bien placé !) égal -> triangles égaux
Notamment : NI=IM ; I milieu de MN est sur la droite joignant les milieux de AB et AD
Ouf !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

Est-ce que I est le milieu de MN ? Ca n'a pas été dit.
Alors par la géométrie analytique, c'est simple.
M a pour coordonnées (p,0) et N (0, (a-p)/2)
Dès lors il est évident que I est sur le segment x+y = a/2