Equation & congruence !
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Equation & congruence !



  1. #1
    invitedf60503e

    Equation & congruence !


    ------

    Enoncé :

    Etude de l'équation d'inconnue a :
    a² + 9 = 5^n dans laquelle a appartient à N, n appartient à N et n plus grand ou égal à 2.

    a) En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation est impossible si n est impair.

    b) On pose n = 2p, démontrer qu'il existe un unique entier naturel a tel que
    a² + 9 soit une puissance entière de 5.


    Donc par rapport à cela dans la question a), moi je serai parti sur le fait d'étudier la congruence de chaque membre de l'équation, et de prouver qu'elle n'est pas la même, mon problème est le " si n est impair", je pige pas trop !

    Et pour la question b, je bloque !

    Merci d'avance pour vos conseil et aide !

    -----

  2. #2
    invitedf60503e

    Re : Equation & congruence !

    SVP des pistes ! Vraiment j'ai besoin d'aide sur ce truc, je me déchire la tête je trouve vraiment pas !

    Je part de 5 congru à 2 (modulo 3), mais bon après je bloque vraiment !

    SVP

  3. #3
    invite787dfb08

    Re : Equation & congruence !

    Je m'y attèle dès que j'ai fini de manger ...
    mais je ne promet rien

    a tout de suite

  4. #4
    invitedf60503e

    Re : Equation & congruence !

    Mercii, je vais avoir besoin de ton aide ! lol Je vais m'abstenir de manger je suis trop à fond dessus, mais ça donne rien, je decolle pas de ma premire formule, le rest n'aboutit pas !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite787dfb08

    Re : Equation & congruence !

    Ba la je suis en train de réviser la spe moi aussi donc des exos c'est ce qu'il ya de mieu

    envoi moi ton msn par MP si tu veux, comme ça ce sera plus pratique, on postera ici la solution finale si on la trouve ^^

    a tte de suite, j'ai peut être une petite piste, mais bon....

  7. #6
    invite2220c077

    Re : Equation & congruence !

    Salut !

    Bon, premièrement, essaye de trouver une régularité sur les résidus de 5^n mod 3.

    5 = -1 [3]
    5² = 1 [3]

    ...

    A toi d'en déduire une relation en fonction de n, et voir ce qu'il se passe suivant la parité de cette variable.

    Ceci fait, ton idée était correcte d'étudier les congruences de chaque terme de l'équation. (pour ta question a) ).

    Pour la question b), puisque tu as prouvé que n impair était impossible, alors les solutions sont (si elles existent, en tout cas d'après l'énoncé, il existe un n, et il est unique) sont forcément données lorsque n est pair, i.e, n = 2p, p € N. En remarquant que et 9 = 3², alors l'équation se résoud les doigts dans le nez

    Bonne chance, et n'abandonne pas !

  8. #7
    invite2220c077

    Re : Equation & congruence !

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    et 9 = 3²
    rajoute aussi 9 = 9 * 1, qui te sera d'une plus grande aide en fait ... mais faut traiter les 2 cas pour prouver que a est unique

  9. #8
    invite787dfb08

    Re : Equation & congruence !

    Question 1

    j'ai montré que a²+9 congrue 0 ou 1 modulo 3

    et on observe que 5^n avec n impair congrue toujours 2 modulo 3
    donc comme il ne congrue pas à la mm chose, il ne sont pas congruent, donc pas égaux (dites moi si j'abuse la ???)

    Le tout est de montrer que 5^n congrue 2 modulo 3.
    Je pensais le faire en nottant n impair = (2k+1)

    Mq 5^(2k+1) congrue 2 [3]

  10. #9
    invite2220c077

    Re : Equation & congruence !

    Citation Envoyé par GalaxieA440 Voir le message
    Question 1

    j'ai montré que a²+9 congrue 0 ou 1 modulo 3
    C'est correct.


    Citation Envoyé par GalaxieA440 Voir le message
    et on observe que 5^n avec n impair congrue toujours 2 modulo 3
    Pas tout à fait. On a 5^n = 2 ^n [3], puisque 5 = 2 [3] mais en fait, avec cette écriture, on ne va peut pas conclure grand chose ... Parcontre on a aussi 5 = -1[3], avec ça, il faut chercher une régularité des résidus mod 3 en fonction de n (et surtout de sa parité) pour conclure.

  11. #10
    invite787dfb08

    Re : Equation & congruence !

    C'est bon je pense avoir réussi.

    Si je note 5^(2k+1), je peux le noter (5²)^k +5
    La congruence de ce truc est facile à étudier modulo 3, et donc on peut montrer que 5n avec n impair n'est pas congru au premier terme.

    Vrai ou faux ?

  12. #11
    invite2220c077

    Re : Equation & congruence !

    Citation Envoyé par GalaxieA440 Voir le message
    C'est bon je pense avoir réussi.

    Si je note 5^(2k+1), je peux le noter (5²)^k +5
    Faux !

  13. #12
    invite787dfb08

    Re : Equation & congruence !

    oui oui pardon
    c'est ce que je voulais noter

    et donc la congruence de ce truc modulo 3 est 2 c'est clair et net


  14. #13
    invite2220c077

    Re : Equation & congruence !

    On a 5^n = -1[3] lorsque n est impair et 5^n = 1[3] lorsque n est pair.

  15. #14
    invitedf60503e

    Re : Equation & congruence !

    Je bosse tout ce que vous avez écrit, je vous répond dans un instant les gars !

  16. #15
    invite787dfb08

    Re : Equation & congruence !

    oui on est d'accord

    mais je ne résoud pas le deux les doigts dans le nez pour autant.

    j'ai a² = 5^2p -9
    A gauche, ça congrue 1 mod 3 mais j'en déduis pas a pour autant
    Je cherche encore...

  17. #16
    invite2220c077

    Re : Equation & congruence !

    Galaxie : Regarde ma remarque plus haut : 5^2p = (5^p)²

    Et ne regarde plus les congruences, résouds ça de manière "algébrique"

  18. #17
    invitedf60503e

    Re : Equation & congruence !


  19. #18
    invite787dfb08

    Re : Equation & congruence !

    Je craque, j'arrive pas le b

    Je vois bien ou tu veux en venir avec ce que tu as mis plus haut, mais résoudre ça de manière algébrique ??? on a encore du 5^p. Est-ce que tu utilises des critères de divisibilité ???

  20. #19
    invitedf60503e

    Re : Equation & congruence !

    Zweig, juste je peux te demander une explication sur :

    5^n congru à -1 (mod3) quand n est impaire et 5^n congru à 1 (mod3) quand n est paire ?

    Et savoir ce que tu pense de si 5^n est congru à -1 (mod 3) quand n est impaire, alors comme a² + 9 n'est pas congru à -1 (mod 3) alors, l'équation n'as pas de solution avec n impaire !

    Merciii

  21. #20
    invitedf60503e

    Re : Equation & congruence !

    5^n est congru à 2 (mod 3) quand n est impaire, galazie a raison

  22. #21
    invite2220c077

    Re : Equation & congruence !

    Je mets la (enfin mes) solutions en SPOIL

     Cliquez pour afficher

  23. #22
    invite787dfb08

    Re : Equation & congruence !

    **** je suis un vrai boulet (c'est ce que je me dis à chaque fois que je loupe un exo...)

    Je me suis entêté sur la forme a² = (5^p)² -9 J'avais identité remarquable et tout, et j'arrivais pas à mettre en système pour trouver a


  24. #23
    invitedf60503e

    Re : Equation & congruence !

    Juste te lever mon chapeau Zweig ! Je suis un mec intelligent, sans plus, mais la vraiment, frenchement, t'ira loin dans tes études et plus tard mec ! En tout cas merci bcp vraiment ! Je vais me tourner vers la 2e méthode, car la première a besoin vraiment d'etre approfondi au niveau des lois, et je ne l'ai pas encore très bien vu ! merciii bcp !

  25. #24
    invite787dfb08

    Re : Equation & congruence !

    N'empêche la spé maths c'est pas évident

    Je propose un truc, c'est de créer une un fil qui rassemble les résumé essentiels sur les chapitres de spe maths. PAs d'exo ni d'exo résolu ni d'aide pour résoudre des trucs, juste des résumé de chapitres, ex : sur les congruences, ya un tas de choses pas évidentes, un tas de méthode particulière qu'il faudrait lister.
    Enfin je sais que moi je vais pas tarder de me faire un max de fiche de résumer (ds approche), je les mettrais en ligne sur FS, ce serai bien qu'il soit complété par d'autres....

  26. #25
    invite2220c077

    Re : Equation & congruence !

    Je me suis trompé sur un point : p = 1 et non à 2

  27. #26
    invite2220c077

    Re : Equation & congruence !

    bastien90210 > Oulà, tant d'éloge pour pas grand chose Enfin, je veux dire que je suis habitué à ce genre d'exercices car je m'entraîne pour les Olympiades Internationales de Mathématiques, et les équations diophantiennes (entre autre), j'en mange un sacré paquet ! Donc j'ai acquéris quelques réflexes.

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