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Equation d'onde & changements de variables



  1. #1
    kkneo

    Equation d'onde & changements de variables


    ------

    Bonjour,

    ma question est lié à la résolution d'une équa-diff d'une onde scalaire se propageant dans un milieu en 3D.

    je vous refais la démo rapidement pour que vous ayez le contexte.

    au départ on a l'équadiff :


    avec c la célérité dans le milieu et r=(x,y,z)

    Pour résoudre cela, on utilise la méthode de la séparation des variables.


    avec cette méthode on trouve quelque chose comme

    et

    avec une cste
    en développant un peu :

    et comme chaque terme est indépendant :



    avec
    les solutions sont de la forme




    comme la solution est donnée par
    on a une solution qui est une combinaison linéaire donné par


    avec
    ;
    ;
    ;

    et on prendra la solution plus générale :

    qui est la solution de d'Alembert

    pour vérifier que cette solution générale satisfait l'equadiff du début on pose



    et on utilise les chaines de dérivations par x y z et t.

    pour qu'elle soit valable, on se rend compte qu'il faut nécessairement que :



    et dans un bouquin, on dit que cela est valable pour

    (h et g sont derrivables 2 fois)

    c'est cette dernière affirmation qui me gène... je ne vois pas vraiment pourquoi la dérivée par v d'une fonction dépendant de u soit nulle...
    Si je me rappelle de souvenirs lointains, il faudrait que u et v soit orthogonaux non?.. Enfin vous l'aurez compris ça me trouble pas mal et si quelqu'un pouvais m'aider cela serait d'un grand secours

    -----

  2. #2
    Coincoin

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    Salut,
    u et v sont deux variables indépendantes. Donc si h ne dépend que de u, alors dh/dv=0.

    C'est la même chose que si je te demande la dérivée par rapport à y de 2x²...
    Encore une victoire de Canard !

  3. #3
    kkneo

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    ok merci,

    mais justement si tu regardes u est v tu peux exprimer u en fonction de v et vis-versa
    un truc comme


    alors je sais pas... j'hésite

  4. #4
    Coincoin

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    Sauf que quand tu dérives par rapport à u, tu considères le couple de variable u, v, et non plus x,y et z.

    Il faut revenir à la définition d'une dérivée partielle. Rigoureusement, il faudrait écrire pour préciser qu'on dérive par rapport à v à u constant.
    Encore une victoire de Canard !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    kkneo

    Re : Equation d'onde & changements de variables



    ... donc le fait que u,v constituent ou non un repère orthogonal n'a aucune inportance?

    Autrement dit : comme h ne dépend que de u, cela signifie que h ne dépend nécessairement pas de v....

    mhm, ça fait tout byzarre... mais je suis pas loin de dire ok ()

  7. #6
    Coincoin

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    ... donc le fait que u,v constituent ou non un repère orthogonal n'a aucune inportance?
    Aucune, il faut juste qu'ils soient indépendants. Tu fais juste un changement de base, il n'est pas nécessaire que les bases soient orthogonales.
    Encore une victoire de Canard !

  8. #7
    kkneo

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    ok merci pour la picure de rappel, ça fait du bien.

    A+

  9. #8
    kkneo

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    au risque de paraitre un peu tétu ...

    j'ai quand même un doute :

    si alors u est indépendant de v... logique!

    dans mon cas j'ai (je me répète mais ça économise la molette)


    il me semble que


    donc

    et problème? car j'ai pas zeros ... pas indépendant non?

  10. #9
    Coincoin

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    il me semble que
    Je ne vois pas pourquoi
    Encore une victoire de Canard !

  11. #10
    kkneo

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    ... ouais en effet,

    je me suis dit qu'on pouvais faire la décomposition :



    et


    mais ... peut être que je me plante là...

  12. #11
    Coincoin

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    Ta règle ne marche pas pour les fonctions de plusieurs variables... Tu as :
    Encore une victoire de Canard !

  13. #12
    kkneo

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    oui pardon!!! décidément c'est pas mon jour!

    donc on va dire que c'est indépendant car ça deviens compliqué

  14. #13
    Coincoin

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    Tu vois que c'est indépendant dans le fait que tu ne peux pas exprimer u en fonction de v seulement. Par contre, u, v et t ne sont pas indépendants par exemple.

    Si tu as déjà fait les espaces vectoriels, tu es simplement dans un espace à deux dimensions et tu fais un changement de base. (u,v) est bien une famille libre.
    Encore une victoire de Canard !

  15. #14
    kkneo

    Re : Equation d'onde & changements de variables

    si mais ça fait un bon bout de temps.

    merci pour ta patience en tous cas!!

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