Equation d'onde

[SpintroniK]

Bonjour,

je ne savais pas vraiment dans quel forum ajouter ce message étant donné qu'il s'agit aussi bien de physique que d'informatique ou de maths (bien sûr).

Donc, j'expose mon problème...
Disons que j'ai vu qu'on pouvait résoudre une équation d'onde comme celle cie :



d'une manière que mon prof de maths qualifierait de "bricolage" mais qui me convient :
On pose et on trouve que l'équation de propagation est équivalente à :



et vu que les deux membres dépendent chacun d'une variable différente donc ils sont tous deux égaux à une constante que je note .
Ce qui donne deux équations :



et à partir de là on retrouve une égalité bien connue...

Seulement, dans mon cas ce n'est pas si simple, puisque mon modèle aboutit à l'équation suivante :



en posant le même changement de variable j'arrive à :




mais je ne sait pas quoi faire poure continuer, j'ai pensé à plusieurs choses mais qui sont surement fausses.

Je fait donc appel à votre aide,
merci d'avance.
-----

[invitebb921944]

Bonjour.
Je ne vois pas bien ce qui t'empeche d'avoir le même raisonnement que pour la première équation... alpha dépend de x et t ?

[ericcc]

Tu fais le même raisonnement, mais ici tu trouves
f"-Kf=0
g"-K'g=0
et K'-K/c²=alpha

[SpintroniK]

Tu fais le même raisonnement, mais ici tu trouves
f"-Kf=0
g"-K'g=0
et K'-K/c²=alpha

Ok, j'y avais pensé mais je voulais être sûr à 100%.

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Le_Ced]

Salut;
j'en profite pour poser une question qui me trote dans la tête depuis un petit moment.
Dans quelle mesure on a le droit de résoudre de telle équation en supposant la solution à variable séparable ? Ou plus précisément est ce que ça ne réduit pas l'espace des solutions de faire une telle suposition ?
Merci de vos réponses et si sa fait appel à des notions trop compliquées sur les EDP donner moi juste quelques indications si possible

++

[edpiste]

Une généralisation possible de la méthode de séparation de variable est la décomposition spectrale. Ainsi, en dimension 2, toute fonction raisonnable peut s'écrire en coordonnées polaires sous la forme



Pour des opérateurs linéaires à coefficients constants, on est alors ramené à étudier des EDO.
Note toutefois que pour l'équation des ondes, la forme générale de la solution peut se trouver en factorisant l'opérateur différentiel

On pose alors
et on est ramené à une équation d'ordre 1 (une équation de transport à coefficients constants) laquelle se résoud aisément (en remarquant que v doit rester constante le long des trajectoires x=ct, appelées caractéristiques)

[Gwyddon]

Hello,

Juste une petite remarque technique, pour rebondir sur la fin du message d'edpiste : c'est cette méthode justement qui permet de résoudre l'équation d'onde pour une onde sphérique, moyennant un petit changement de variable adéquat.

[SpintroniK]

Une généralisation possible de la méthode de séparation de variable est la décomposition spectrale. Ainsi, en dimension 2, toute fonction raisonnable peut s'écrire en coordonnées polaires sous la forme



Pour des opérateurs linéaires à coefficients constants, on est alors ramené à étudier des EDO. [...]

J'aimerai bien en savoir plus sur cette méthode...
J'imagine qu'on obtient une solution qui donne tous les harmoniques etc ?

[edpiste]

Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta question : tu veux savoir si on peut représenter ainsi toutes les ...fonctions harmoniques ? ou bien tu parles des modes propres d'une surface vibrante ? Le mot harmonique seul est vague.
Sinon, je n'ai fait qu'écrire la représentation d'une fonction en série de Fourier (en dimension supérieure, on peut utiliser à la place une base spectrale de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la sphère, mais pour comprendre ça, il faut un peu plus d'expérience de la géométrie différentielle et des espaces de Hilbert)

Tu pourras aussi consulter le très bon livre introductif "Partial Differential Equations" de LC Evans

[SpintroniK]

Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta question : tu veux savoir si on peut représenter ainsi toutes les ...fonctions harmoniques ? ou bien tu parles des modes propres d'une surface vibrante ? Le mot harmonique seul est vague.
Sinon, je n'ai fait qu'écrire la représentation d'une fonction en série de Fourier (en dimension supérieure, on peut utiliser à la place une base spectrale de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la sphère, mais pour comprendre ça, il faut un peu plus d'expérience de la géométrie différentielle et des espaces de Hilbert)

Tu pourras aussi consulter le très bon livre introductif "Partial Differential Equations" de LC Evans

J'en sais rien, je disais simplement ce que je croyait qu'on trouverait dans le résultat, c'est à dire des fonction périodiques avec des fréquences multiples d'un fondamental, c'est pour ça que je parle d'harmonique. Mais ce n'était qu'une hypothèse très vague, j'avoue. Mais n'y a-t-il pas de relation avec les modes propres ?

[SpintroniK]

Au fait, en passant, j'aimerais aussi savoir comment résoudre numériquement une équation de ce genre, j'avais pensé à utiliser la discrétisation du Laplacien mais je ne sais pas trop comment faire ?

[edpiste]

une méthode différences finies fera l'affaire. Voire par exemple les livres de P. Ciarlet ou Crouzaix-Mignot

[SpintroniK]

Je ne connais pas cette méthode, est-ce que quelqu'un pourrait me donner un exemple de son utilisation ?