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Equation d'onde



  1. #1
    SpintroniK

    Equation d'onde


    ------

    Bonjour,

    je ne savais pas vraiment dans quel forum ajouter ce message étant donné qu'il s'agit aussi bien de physique que d'informatique ou de maths (bien sûr).

    Donc, j'expose mon problème...
    Disons que j'ai vu qu'on pouvait résoudre une équation d'onde comme celle cie :



    d'une manière que mon prof de maths qualifierait de "bricolage" mais qui me convient :
    On pose et on trouve que l'équation de propagation est équivalente à :



    et vu que les deux membres dépendent chacun d'une variable différente donc ils sont tous deux égaux à une constante que je note .
    Ce qui donne deux équations :



    et à partir de là on retrouve une égalité bien connue...

    Seulement, dans mon cas ce n'est pas si simple, puisque mon modèle aboutit à l'équation suivante :



    en posant le même changement de variable j'arrive à :




    mais je ne sait pas quoi faire poure continuer, j'ai pensé à plusieurs choses mais qui sont surement fausses.

    Je fait donc appel à votre aide,
    merci d'avance.

    -----

  2. #2
    invite43219988

    Re : Equation d'onde

    Bonjour.
    Je ne vois pas bien ce qui t'empeche d'avoir le même raisonnement que pour la première équation... alpha dépend de x et t ?

  3. #3
    ericcc

    Re : Equation d'onde

    Tu fais le même raisonnement, mais ici tu trouves
    f"-Kf=0
    g"-K'g=0
    et K'-K/c²=alpha

  4. #4
    SpintroniK

    Re : Equation d'onde

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Tu fais le même raisonnement, mais ici tu trouves
    f"-Kf=0
    g"-K'g=0
    et K'-K/c²=alpha
    Ok, j'y avais pensé mais je voulais être sûr à 100%.

    Merci.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Le_Ced

    Re : Equation d'onde

    Salut;
    j'en profite pour poser une question qui me trote dans la tête depuis un petit moment.
    Dans quelle mesure on a le droit de résoudre de telle équation en supposant la solution à variable séparable ? Ou plus précisément est ce que ça ne réduit pas l'espace des solutions de faire une telle suposition ?
    Merci de vos réponses et si sa fait appel à des notions trop compliquées sur les EDP donner moi juste quelques indications si possible

    ++

  7. #6
    edpiste

    Re : Equation d'onde

    Une généralisation possible de la méthode de séparation de variable est la décomposition spectrale. Ainsi, en dimension 2, toute fonction raisonnable peut s'écrire en coordonnées polaires sous la forme



    Pour des opérateurs linéaires à coefficients constants, on est alors ramené à étudier des EDO.
    Note toutefois que pour l'équation des ondes, la forme générale de la solution peut se trouver en factorisant l'opérateur différentiel

    On pose alors
    et on est ramené à une équation d'ordre 1 (une équation de transport à coefficients constants) laquelle se résoud aisément (en remarquant que v doit rester constante le long des trajectoires x=ct, appelées caractéristiques)

  8. #7
    Gwyddon

    Re : Equation d'onde

    Hello,

    Juste une petite remarque technique, pour rebondir sur la fin du message d'edpiste : c'est cette méthode justement qui permet de résoudre l'équation d'onde pour une onde sphérique, moyennant un petit changement de variable adéquat.
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. #8
    SpintroniK

    Re : Equation d'onde

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    Une généralisation possible de la méthode de séparation de variable est la décomposition spectrale. Ainsi, en dimension 2, toute fonction raisonnable peut s'écrire en coordonnées polaires sous la forme



    Pour des opérateurs linéaires à coefficients constants, on est alors ramené à étudier des EDO. [...]
    J'aimerai bien en savoir plus sur cette méthode...
    J'imagine qu'on obtient une solution qui donne tous les harmoniques etc ?

  10. #9
    edpiste

    Re : Equation d'onde

    Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta question : tu veux savoir si on peut représenter ainsi toutes les ...fonctions harmoniques ? ou bien tu parles des modes propres d'une surface vibrante ? Le mot harmonique seul est vague.
    Sinon, je n'ai fait qu'écrire la représentation d'une fonction en série de Fourier (en dimension supérieure, on peut utiliser à la place une base spectrale de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la sphère, mais pour comprendre ça, il faut un peu plus d'expérience de la géométrie différentielle et des espaces de Hilbert)

    Tu pourras aussi consulter le très bon livre introductif "Partial Differential Equations" de LC Evans

  11. #10
    SpintroniK

    Re : Equation d'onde

    Citation Envoyé par edpiste Voir le message
    Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta question : tu veux savoir si on peut représenter ainsi toutes les ...fonctions harmoniques ? ou bien tu parles des modes propres d'une surface vibrante ? Le mot harmonique seul est vague.
    Sinon, je n'ai fait qu'écrire la représentation d'une fonction en série de Fourier (en dimension supérieure, on peut utiliser à la place une base spectrale de l'opérateur de Laplace-Beltrami sur la sphère, mais pour comprendre ça, il faut un peu plus d'expérience de la géométrie différentielle et des espaces de Hilbert)

    Tu pourras aussi consulter le très bon livre introductif "Partial Differential Equations" de LC Evans
    J'en sais rien, je disais simplement ce que je croyait qu'on trouverait dans le résultat, c'est à dire des fonction périodiques avec des fréquences multiples d'un fondamental, c'est pour ça que je parle d'harmonique. Mais ce n'était qu'une hypothèse très vague, j'avoue. Mais n'y a-t-il pas de relation avec les modes propres ?

  12. #11
    SpintroniK

    Re : Equation d'onde

    Au fait, en passant, j'aimerais aussi savoir comment résoudre numériquement une équation de ce genre, j'avais pensé à utiliser la discrétisation du Laplacien mais je ne sais pas trop comment faire ?

  13. #12
    edpiste

    Re : Equation d'onde

    une méthode différences finies fera l'affaire. Voire par exemple les livres de P. Ciarlet ou Crouzaix-Mignot

  14. #13
    SpintroniK

    Re : Equation d'onde

    Je ne connais pas cette méthode, est-ce que quelqu'un pourrait me donner un exemple de son utilisation ?

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