Demo d'un théorème d'arithmetique

[inviteedb947f2]

J'ai besoin de démontrer que : |ab| = pgcd(a,b)ppcm(a,b)
d = pgcd
m = ppcm

J'ai fait le cas a et b premier entre eux.
Ensuite je voudrais faire le dernier cas :

Je voudrais donc démontrer que :
dm | ab
et
ab | dm

donc...

d = au + bv
ak = m
bk'=m

dm = a(bk')u + b(ak)v
dm = ab(k'u + kv)

donc... ab | dm

Je vois pas comment prouver le sens contraire...
Un peu d'aide ?
-----

[invitec053041c]

Bonsoir.

Voici ce qui me vient à l'esprit.

On sait que m=ak et m=bk' avec (important) k et k' premiers entre eux.

Donc il existe u et v tq:
uk+vk'=1

En multipliant par ab, on obtient:

bmu+amv=ab
m(bu+av)=ab

Or d divise a et b, donc d divise toute combinaison linéaire de a et de b, donc d|(ub+av), c'est-à-dire que (bu+av)=k'''.d

D'où md.k'''=ab et md|ab .

Cordialement.

[invite35452583]

J'ai besoin de démontrer que : |ab| = pgcd(a,b)ppcm(a,b)
d = pgcd
m = ppcm

J'ai fait le cas a et b premier entre eux.
Ensuite je voudrais faire le dernier cas :

Il suffit de se ramener au cas déjà traité.
a=da' b=db' avec d=pgcd(a,b) a' et b' premiers entre eux.
ppcm(d.a',d.b')=d.ppcm(a',b') ou ppcm(d.a',d.b')/d=ppcm(a',b').
Que le 1er divise le second est assez facile à montrer avec la 1ère écriture la réciproque l'est plus avec la deuxième écriture.

[inviteedb947f2]

Ok merci, pas de problème !

[A voir en vidéo sur Futura]