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Demo d'un théorème d'arithmetique



  1. #1
    Deeprod

    Demo d'un théorème d'arithmetique


    ------

    J'ai besoin de démontrer que : |ab| = pgcd(a,b)ppcm(a,b)
    d = pgcd
    m = ppcm

    J'ai fait le cas a et b premier entre eux.
    Ensuite je voudrais faire le dernier cas :

    Je voudrais donc démontrer que :
    dm | ab
    et
    ab | dm

    donc...

    d = au + bv
    ak = m
    bk'=m

    dm = a(bk')u + b(ak)v
    dm = ab(k'u + kv)

    donc... ab | dm

    Je vois pas comment prouver le sens contraire...
    Un peu d'aide ?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Ledescat

    Re : Demo d'un théorème d'arithmetique

    Bonsoir.

    Voici ce qui me vient à l'esprit.

    On sait que m=ak et m=bk' avec (important) k et k' premiers entre eux.

    Donc il existe u et v tq:
    uk+vk'=1

    En multipliant par ab, on obtient:

    bmu+amv=ab
    m(bu+av)=ab

    Or d divise a et b, donc d divise toute combinaison linéaire de a et de b, donc d|(ub+av), c'est-à-dire que (bu+av)=k'''.d

    D'où md.k'''=ab et md|ab .

    Cordialement.
    Cogito ergo sum.

  4. #3
    homotopie

    Re : Demo d'un théorème d'arithmetique

    Citation Envoyé par Deeprod Voir le message
    J'ai besoin de démontrer que : |ab| = pgcd(a,b)ppcm(a,b)
    d = pgcd
    m = ppcm

    J'ai fait le cas a et b premier entre eux.
    Ensuite je voudrais faire le dernier cas :
    Il suffit de se ramener au cas déjà traité.
    a=da' b=db' avec d=pgcd(a,b) a' et b' premiers entre eux.
    ppcm(d.a',d.b')=d.ppcm(a',b') ou ppcm(d.a',d.b')/d=ppcm(a',b').
    Que le 1er divise le second est assez facile à montrer avec la 1ère écriture la réciproque l'est plus avec la deuxième écriture.

  5. #4
    Deeprod

    Re : Demo d'un théorème d'arithmetique

    Ok merci, pas de problème !

  6. A voir en vidéo sur Futura

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