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Demo du théoreme des valeurs intermédiaires



  1. #1
    usurpateur

    Demo du théoreme des valeurs intermédiaires


    ------

    Bonjour,

    Est ce que quelqu'un pourrait dire comment on demontre le théoreme des valeurs intermediaires. Faut-il utiliser une quelconque fonction auxiliaire ?
    ( Effectivement il y en a une : g(x)=f(x)-c mais c'est pour démontrer son corollaire )

    merci

    -----

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  3. #2
    Cyp

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    essaye de chercher un peu il y a plusieurs preuves possibles de ce résultat, indique-nous déjà de quelles hypothèses tu pars et la conclusion à laquelle tu veux arriver

  4. #3
    Cyp

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    bô t'es pas bavard lol

  5. #4
    sensor

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    Ma prof avait "construit" deux suites qui étaient adjacentes mais je trouve que sa démo n'est pas claire...

  6. #5
    martini_bird

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    Salut,

    ce théorème se démontre différemment en fonction de la construction de IR choisie: si c'est par les suites adjacentes, alors il faut en effet construire deux suites adjacentes...

    Mais IR peut aussi être construit par d'autres moyens (propriétés de la borne supérieure, Bolzano-Weierstrass, complétude, ...).

    D'une manière ou d'une autre, il faut un moyen pour décrire le fait que les segments sont compacts et que l'image d'un compact par une fonction continue est compact.

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Ithilian_bzh

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    Dans un cadre plus général, ce n'est pas une propriété liée plutôt à la connexité (év. par arc) qu'à la compacité ?
    Astronome ingénieur alternatif

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  10. #7
    martini_bird

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    Zut, oui. Il s'agit bien de connexité.

    Je me pose une question plus ou moins liée: ça existe des espaces complets non localement compacts?

  11. #8
    usurpateur

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    En fait je ne sais po encore ce que signifie "connexité" ou "espace complet non localement compact" , peut être que TVI s'utilise surement dans d'autre domaine.

    Et pour répondre à Cyp, les hypothéses sont les suivantes:
    Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle I et a, b deux réels apartenant à I tel que a<b et f(a)*f(b)<0. A partir ce ces hypothèses on doit démontrer qu'il exite une solution tel que f(x) s'annule .

    Il me semble que mon prof m'a dit qu'on peut le démontrer uniquement avec les propriétés de la continuité et la seule propriété que je connais c'est : lim f(x)=f(x0) quand x->x0

    voilà, merci

  12. #9
    IceDL

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    Citation Envoyé par martini_bird
    Zut, oui. Il s'agit bien de connexité.

    Je me pose une question plus ou moins liée: ça existe des espaces complets non localement compacts?
    En fait, il y a un exercice classique qui assure l'équivalence entre :

    (i) E est un espace métrique compact
    (ii) E est complet et localement compact

    Pour te trouver un exemple il suffit par exemple de prendre E complet et non compact (R doit marcher donc)

    Mais cela reste à confirmer
    @+

  13. #10
    martini_bird

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    Salut,

    Citation Envoyé par IceDL
    En fait, il y a un exercice classique qui assure l'équivalence entre :

    (i) E est un espace métrique compact
    (ii) E est complet et localement compact
    Tu es sûr de ça? Car R est localement compact il me semble...

  14. #11
    IceDL

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    Citation Envoyé par usurpateur
    Bonjour,

    Est ce que quelqu'un pourrait dire comment on demontre le théoreme des valeurs intermediaires. Faut-il utiliser une quelconque fonction auxiliaire ?
    ( Effectivement il y en a une : g(x)=f(x)-c mais c'est pour démontrer son corollaire )

    merci
    Si mes souvenirs sont bons, en termes savants cela signifie que l'image continue d'un connexe est connexe. Dans le cas où l'espace d'arrivée est R, on montre en fait que les parties connexe de R sont exactement les intervalles de R d'où le résultat... mais cela ne t'aide peut-être pas

    Mais ce qui te préocuppe ici c'est plutôt une démonstration à la main :

    Outils requis : suites adjacentes + propriétés des fonctions continues.

    Comme tu l'as remarqué on peut se ramener ou f est une fonction continue d'un intervalle [a,b] dans R vérifiant :

    f(a)<=0 et f(b)>=0 (inégalités lages) , en effet si f(a)>=0 et f(b)<=0 on peut toujours démontrer la propriété sur -f.

    Ensuite on considère les suites (An) et (Bn) définies par
    Ao=a
    Bo=b
    puis... (je te laisse poursuivre , indication : procéder par dichotomie).

    @+

  15. #12
    IceDL

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    Tu es sûr de ça? Car R est localement compact il me semble...
    Non erreur de ma part c'est équivalence entre :

    (i) E est compact
    (ii) E est complet et précompact

    Cela n'est pas la même chose, désolé

    @+

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  17. #13
    ericcc

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    En fait, tu supposes que f(a) est <0, et f(b) >0, et tu veux montrer qu'il existe un c compris entre a et b tel que f(c) = 0.
    L'id&#233;e est effectivement de "couper" l'intervalle [a,b] en 2, en prenant le milieu. Si son image est nulle c'est gagn&#233;, sinon si elle est positive, on l'appelle b1; si elle est n&#233;gative, on l'appelle a1.
    On regarde maintenant le nouvel intervalle [a,b1] ou [a1,b], et on continue.

    Je te laisse terminer le raisonnement, en sachant qu'il faudra &#224; un moment utiliser la continuit&#233; de f.

  18. #14
    usurpateur

    Re : Demo du théoreme des valeurs intermédiaires

    ok merci pour les indications

    je vais voir ce que ça donne...

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