Bonjour,
Est ce que quelqu'un pourrait dire comment on demontre le théoreme des valeurs intermediaires. Faut-il utiliser une quelconque fonction auxiliaire ?
( Effectivement il y en a une : g(x)=f(x)-c mais c'est pour démontrer son corollaire )
merci
essaye de chercher un peuil y a plusieurs preuves possibles de ce résultat, indique-nous déjà de quelles hypothèses tu pars et la conclusion à laquelle tu veux arriver
bô t'es pas bavard lol
Ma prof avait "construit" deux suites qui étaient adjacentes mais je trouve que sa démo n'est pas claire...
Salut,
ce théorème se démontre différemment en fonction de la construction de IR choisie: si c'est par les suites adjacentes, alors il faut en effet construire deux suites adjacentes...
Mais IR peut aussi être construit par d'autres moyens (propriétés de la borne supérieure, Bolzano-Weierstrass, complétude, ...).
D'une manière ou d'une autre, il faut un moyen pour décrire le fait que les segments sont compacts et que l'image d'un compact par une fonction continue est compact.
Cordialement.
Dans un cadre plus général, ce n'est pas une propriété liée plutôt à la connexité (év. par arc) qu'à la compacité ?
Zut, oui. Il s'agit bien de connexité.
Je me pose une question plus ou moins liée: ça existe des espaces complets non localement compacts?
En fait je ne sais po encore ce que signifie "connexité" ou "espace complet non localement compact", peut être que TVI s'utilise surement dans d'autre domaine.
Et pour répondre à Cyp, les hypothéses sont les suivantes:
Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle I et a, b deux réels apartenant à I tel que a<b et f(a)*f(b)<0. A partir ce ces hypothèses on doit démontrer qu'il exite une solution tel que f(x) s'annule .
Il me semble que mon prof m'a dit qu'on peut le démontrer uniquement avec les propriétés de la continuité et la seule propriété que je connais c'est : lim f(x)=f(x0) quand x->x0
voilà, merci
En fait, il y a un exercice classique qui assure l'équivalence entre :Envoyé par martini_bird
(i) E est un espace métrique compact
(ii) E est complet et localement compact
Pour te trouver un exemple il suffit par exemple de prendre E complet et non compact (R doit marcher donc)
Mais cela reste à confirmer
@+
Salut,
Tu es sûr de ça? Car R est localement compact il me semble...
Si mes souvenirs sont bons, en termes savants cela signifie que l'image continue d'un connexe est connexe. Dans le cas où l'espace d'arrivée est R, on montre en fait que les parties connexe de R sont exactement les intervalles de R d'où le résultat... mais cela ne t'aide peut-être pasBonjour,
Est ce que quelqu'un pourrait dire comment on demontre le théoreme des valeurs intermediaires. Faut-il utiliser une quelconque fonction auxiliaire ?
( Effectivement il y en a une : g(x)=f(x)-c mais c'est pour démontrer son corollaire )
merci
Mais ce qui te préocuppe ici c'est plutôt une démonstration à la main :
Outils requis : suites adjacentes + propriétés des fonctions continues.
Comme tu l'as remarqué on peut se ramener ou f est une fonction continue d'un intervalle [a,b] dans R vérifiant :
f(a)<=0 et f(b)>=0 (inégalités lages) , en effet si f(a)>=0 et f(b)<=0 on peut toujours démontrer la propriété sur -f.
Ensuite on considère les suites (An) et (Bn) définies par
Ao=a
Bo=b
puis... (je te laisse poursuivre
@+
Non erreur de ma part c'est équivalence entre :
(i) E est compact
(ii) E est complet et précompact
Cela n'est pas la même chose, désolé
@+
En fait, tu supposes que f(a) est <0, et f(b) >0, et tu veux montrer qu'il existe un c compris entre a et b tel que f(c) = 0.
L'idée est effectivement de "couper" l'intervalle [a,b] en 2, en prenant le milieu. Si son image est nulle c'est gagné, sinon si elle est positive, on l'appelle b1; si elle est négative, on l'appelle a1.
On regarde maintenant le nouvel intervalle [a,b1] ou [a1,b], et on continue.
Je te laisse terminer le raisonnement, en sachant qu'il faudra à un moment utiliser la continuité de f.
ok merci pour les indications
je vais voir ce que ça donne...
