équation d'onde avec source

[invite69d38f86]

Bonjour,

Je lis un livre très intéressant d’Heisenberg (merci à Mtheory pour la référence) qui s ‘appelle Principes physiques de la théorie des quanta.. Il y décrit les photographies de Wilson :
Une particule alpha d’impulsion P ionise N molécules d’eau dans une enceinte ou l’air est saturé d’eau. Ces molécules ionisées causent une condensation macroscopique qui y fait ainsi apparaître une trajectoire.
Heisenberg montre qu le système formé de la particule et des N molécules ionisées n’a une probabilité non nulle que si les N molécules sont sensiblement alignées et parallèlement à l’impulsion.
Dans un 1er temps on considère la particule ayant interagi avec avec une seule molécule.
On note φ(x,y,z) l’amplitude pour que la particule soit au point r et que la molécule soit ionisée (les indices concernant l’etat de la molécule sont ici omis). On note de meme f(x,y,z) l’amplitude spatiale liée à la molécule.
P étant l’impulsion initiale de la particule on aboutit à l’équation d’onde (P est suffisamment grand pour négliger sa variation dans l’interaction) :
(aΔ + k^2)φ = f exp(i b P.r) ou Δ est le laplacien.et a,b des constantes réelles.

Sans résoudre l’équation l’auteur dit que c’est une équation d’onde avec un terme source à droite qui peut être évaluée à l’aide du principe de Huyghens ; puis que φ n’est différent de zéro que dans un canal à peu près cylindrique dont la section correspond à la taille de la molécule situé derrière la molécule impactée. Heisenberg accompagne ceci d’un croquis ressemblant un peu à une comete avec sa queue !

Comment peut on voir tout ceci au vu de la simple équation différentielle ? J'aimerais avoir soit des précisions sur ce type d'équations, soit une explication avec le principe de huyghens.


Merci pour tout éclaircissement.
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[invite69d38f86]

Bonjour,

(aΔ + k^2)φ = f exp(i b P.r) ou Δ est le laplacien.et a,b des constantes réelles.

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Il fallait lire P et non k dans l'équation qui devient (aΔ + P^2)φ = f exp(i b P.r) désolé.

[inviteca6ab349]

SAlut,

sur les equations lineaires avec sources, jettes un oeil du cote des fonctions de Green (http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Green semble assez propre et rapide pour une introduction). C'est une methode super puissante.

[invite88ef51f0]

Salut,
Pour le lien avec les équations d'onde, regarde du côté de l'équation de Helmholtz. Une fois que l'analogie avec l'électromagnétisme est faite, tu as juste à ressortir le principe de Huygens, à la base de la diffraction dans l'étude des ondes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d38f86]

Bonjour,

J’ai maintenant trop de mots cles : equations de Helmoltz, de la chaleur, de laplace, de maxwell, de type elliptique…

L’analogie avec une source lumineuse est très forte, dans le terme de droite de l’équation f(r) décrit la zone l’intensité de la source et exp(i P.r) influe sur la direction des rayons. Aux petites longueurs d’onde on a un faisceau très directionel peu ouvert.
L’idéal pour moi serait d’établir en optique le lien entre ces termes et le formalisme de l’équation de Helmoltz avec source.

A l'origine je pensais trouver dans le livre de Heisenberg, une description des trajectoires des particules chargées dans la chambre de Wilson. Je suppose que par analogie il doit exister une autre équation d'onde avec source tenant compte du champ EM extérieur et dont les solutions ont des ''rayons'' circulaires.

Merci pour toute aide