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[MPSI] Besoin d'indication



  1. #1
    Louir

    [MPSI] Besoin d'indication


    ------

    Bon je débute en Mpsi je suis donc un génie en devenir .....J'espère que vous les génies confirmés aurez une idée a ces deux exercices sur lesquels je n'ai pas d'idées :

    Exercice 1 = soient a,b,c trois réels positifs tels que a*b*c=1

    prouver que a² + b² + c² + ab + bc + ca ≥ 6

    Exercice 2 : simplifier cette égalité A= (racine(5 )+2)^(1/3) - (racine(5) - 2)^1/3

    -----

  2. #2
    Ledescat

    Re : Besoin d'indication ,êtes vous un génie des maths?

    Bonjour.

    Je te préviens juste que MPSI n'implique pas (futur) génie...
    Cogito ergo sum.

  3. #3
    Louir

    Re : Besoin d'indication ,êtes vous un génie des maths?

    ptdr si on peux plus rigoler soyons sérieux vous auriez une idée?

  4. #4
    indian58

    Re : Besoin d'indication ,êtes vous un génie des maths?

    A mon avis, utiliser (a+b+c)² peut être utile.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Gwyddon

    Re : [MPSI]*Besoin d'indication

    Hello,

    Tu as un début d'identité remarquable, donc regarde du côté de (a+b+c)2


    EDIT : bon tant pis, j'aurais fait mieux de me taire
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  7. #6
    Bloud

    Re : [MPSI] Besoin d'indication

    Citation Envoyé par Louir Voir le message
    Exercice 2 : simplifier cette égalité A= (racine(5 )+2)^(1/3) - (racine(5) - 2)^1/3
    Bonsoir
    Pour celui-là, je te conseille la méthode de bourrin qui consiste à monter le tout au cube et après quelques manipulations tu tombes sur quelque chose d'intéressant : ton nombre vérifie une équation particulière. Je n'en dis pas plus .
    I was born intelligent...education ruined me!

  8. #7
    Louir

    Re : [MPSI] Besoin d'indication

    Merci je vais essayer , pensez vous à une méthode moins bourrin? et pour le premiere exercice l'identité mavanc mais je ne c plus quoi faire ensuite !

  9. #8
    Louir

    Re : [MPSI] Besoin d'indication

    En élevant au cube j'obtient :
    4 + 3(rac5+2)^1/3*(rac5-2)^1/3 -3 (rac5+2)^1/3*(rac5-2)^1/3 après que dois-je faire ?

  10. #9
    Jeanpaul

    Re : [MPSI] Besoin d'indication

    Regarde si, par hasard, il n'y aurait pas une relation simple entre les nombres racine(5)+2 et racine(5)-2

  11. #10
    Bloud

    Re : [MPSI] Besoin d'indication

    Citation Envoyé par Louir Voir le message
    En élevant au cube j'obtient :
    4 + 3(rac5+2)^1/3*(rac5-2)^1/3 -3 (rac5+2)^1/3*(rac5-2)^1/3 après que dois-je faire ?

    Tu n'aurais pas oublié des carrés par hasard ?
    Une fois que tu les auras rajoutés, simplifie ton expression au maximum et tu verras...
    I was born intelligent...education ruined me!

  12. #11
    Bloud

    Re : [MPSI] Besoin d'indication

    Citation Envoyé par Louir Voir le message
    Merci je vais essayer , pensez vous à une méthode moins bourrin?
    Effectivement, on peut aussi faire :

    Posons

    et

    On cherche donc à simplifier
    .

    Tu as clairement

    Je te laisse continuer
    I was born intelligent...education ruined me!

  13. #12
    Bloud

    Re : [MPSI] Besoin d'indication

    Citation Envoyé par Louir Voir le message
    Merci je vais essayer , pensez vous à une méthode moins bourrin?
    Et sinon, encore moins bourrin :
    Il "suffit" de constater que


    Cordialement.
    I was born intelligent...education ruined me!

  14. #13
    homotopie

    Re : [MPSI] Besoin d'indication

    Non rien, désolé
    Dernière modification par homotopie ; 12/09/2007 à 00h17. Motif: grosse étourderie

  15. #14
    homotopie

    Re : [MPSI] Besoin d'indication

    Citation Envoyé par homotopie Voir le message
    Non rien, désolé
    Je ne pouvais rester sur ça.
    On pose f(a,b,c)=a²+b²+c²+ab+ac+bc
    f(a,b,c) est trivialement vérifié si a>3, b>3 ou c>3 (3 juste pour éviter d'écrire des racines).
    Reste à le vérifier sur l'intersection de la surface d'équation abc=1 et le compact [0,3]^3.
    Comme cette intersection est compacte f atteint son minimum. Trouvons où est celui-ci.
    Par calcul variationnel supposons que a<b, on pose da>0 db<0 dc=0
    (a+da)(b+db)c=1, on en déduit que adb+bda=infinimiment petit d'ordre 2. On en déduit ldbl>da.
    Les variations de f(a,b,c) donne aux éléments d'ordre 2 près [2ada+2badb]+[c(da+db)] les deux crochets sont négatifs.
    Donc le minimum de la fonction f(a,b,c)=a²+...+bc n'atteint pas son minimum en un point ailleurs qu'à l'intersection avec la droite a=b=c (les 5 autres cas b<a, a<c,..,c<b sont équivalents par symétrie de f et de la surface).
    Cette intersection est réduite au point (1,1,1) pour lequel f(1,1,1)=6.
    Reste à simplifier pour rendre ceci accessible au niveau début de Mpsi.

  16. #15
    homotopie

    Re : [MPSI] Besoin d'indication

    Je pense avoir trouvé une méthode accessible début post-bac.
    On pose f(x,y,z)=x²+y²+z²+xy+xz+yz
    A montrer que la restriction de f à la nappe de la surface xyz=1 avec x,y,z>0 admet un minimum en f(1,1,1).
    Pour cela, il faut montrer que pour tout (a,b,c) sur cette nappe (a,b,c) distinct de (1,1,1) f(a,b,c)>=f(1,1,1).
    pour ce faire on va étudier la restriction de f à une courbe passant par (1,1,1) et (a,b,c).
    Cette courbe est paramétrée par M(t) : (x(t),y(t),z(t)) avec M(0) : (1,1,1) M(1) : (a,b,c) (penser à utiliser des exponentielles, la condition xyz=1 se réécrie en une équation tout aussi simple)
    Pour les points de la courbe on a f(x,y,z)=g(t) (ça ne dépend plus que d'une variable bien qu'il y ait trois paramètres reliées par une relation simple)
    Calculer h(t)=g'(t) puis h'(t)
    Montrer que :
    i) h'(t)>0 pour tout t
    ii) calculer h(0)=g'(0)
    iii) en déduire le signe de h=g' en fonction de t
    iv) en déduire les variations de g
    v) en déduire que g a un minimum (strict) en t=0
    Conclure

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