Bon je débute en Mpsi je suis donc un génie en devenir.....J'espère que vous les génies confirmés aurez une idée a ces deux exercices sur lesquels je n'ai pas d'idées :
Exercice 1 = soient a,b,c trois réels positifs tels que a*b*c=1
prouver que a² + b² + c² + ab + bc + ca ≥ 6
Exercice 2 : simplifier cette égalité A= (racine(5 )+2)^(1/3) - (racine(5) - 2)^1/3
Bonjour.
Je te préviens juste que MPSI n'implique pas (futur) génie...
ptdr si on peux plus rigoler soyons sérieux vous auriez une idée?
A mon avis, utiliser (a+b+c)² peut être utile.
Hello,
Tu as un début d'identité remarquable, donc regarde du côté de (a+b+c)2
EDIT : bon tant pis, j'aurais fait mieux de me taire
BonsoirEnvoyé par Louir
Pour celui-là, je te conseille la méthode de bourrin qui consiste à monter le tout au cube et après quelques manipulations tu tombes sur quelque chose d'intéressant : ton nombre vérifie une équation particulière. Je n'en dis pas plus
Merci je vais essayer , pensez vous à une méthode moins bourrin? et pour le premiere exercice l'identité mavanc mais je ne c plus quoi faire ensuite !
En élevant au cube j'obtient :
4 + 3(rac5+2)^1/3*(rac5-2)^1/3 -3 (rac5+2)^1/3*(rac5-2)^1/3 après que dois-je faire ?
Regarde si, par hasard, il n'y aurait pas une relation simple entre les nombres racine(5)+2 et racine(5)-2
Tu n'aurais pas oublié des carrés par hasard ?
Une fois que tu les auras rajoutés, simplifie ton expression au maximum et tu verras...
Effectivement, on peut aussi faire :
Posons
et
On cherche donc à simplifier
.
Tu as clairement
Je te laisse continuer
Et sinon, encore moins bourrin
Il "suffit" de constater que
Cordialement.
Non rien, désolé
Je ne pouvais rester sur ça.
On pose f(a,b,c)=a²+b²+c²+ab+ac+bc
f(a,b,c) est trivialement vérifié si a>3, b>3 ou c>3 (3 juste pour éviter d'écrire des racines).
Reste à le vérifier sur l'intersection de la surface d'équation abc=1 et le compact [0,3]^3.
Comme cette intersection est compacte f atteint son minimum. Trouvons où est celui-ci.
Par calcul variationnel supposons que a<b, on pose da>0 db<0 dc=0
(a+da)(b+db)c=1, on en déduit que adb+bda=infinimiment petit d'ordre 2. On en déduit ldbl>da.
Les variations de f(a,b,c) donne aux éléments d'ordre 2 près [2ada+2badb]+[c(da+db)] les deux crochets sont négatifs.
Donc le minimum de la fonction f(a,b,c)=a²+...+bc n'atteint pas son minimum en un point ailleurs qu'à l'intersection avec la droite a=b=c (les 5 autres cas b<a, a<c,..,c<b sont équivalents par symétrie de f et de la surface).
Cette intersection est réduite au point (1,1,1) pour lequel f(1,1,1)=6.
Reste à simplifier pour rendre ceci accessible au niveau début de Mpsi.
Je pense avoir trouvé une méthode accessible début post-bac.
On pose f(x,y,z)=x²+y²+z²+xy+xz+yz
A montrer que la restriction de f à la nappe de la surface xyz=1 avec x,y,z>0 admet un minimum en f(1,1,1).
Pour cela, il faut montrer que pour tout (a,b,c) sur cette nappe (a,b,c) distinct de (1,1,1) f(a,b,c)>=f(1,1,1).
pour ce faire on va étudier la restriction de f à une courbe passant par (1,1,1) et (a,b,c).
Cette courbe est paramétrée par M(t) : (x(t),y(t),z(t)) avec M(0) : (1,1,1) M(1) : (a,b,c) (penser à utiliser des exponentielles, la condition xyz=1 se réécrie en une équation tout aussi simple)
Pour les points de la courbe on a f(x,y,z)=g(t) (ça ne dépend plus que d'une variable bien qu'il y ait trois paramètres reliées par une relation simple)
Calculer h(t)=g'(t) puis h'(t)
Montrer que :
i) h'(t)>0 pour tout t
ii) calculer h(0)=g'(0)
iii) en déduire le signe de h=g' en fonction de t
iv) en déduire les variations de g
v) en déduire que g a un minimum (strict) en t=0
Conclure
