tvi

[invite497b73ae]

soit f une fonction définie sur (0,1) tel que f(1)<0<f(0)

et g une fonction continue sur (0,1) tel que f+g est croissante
démontrer qu'il existe un x0 tel que f(x0)=0
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[Thorin]

Et bien c'est une application directe du TVI...où est le problème ?

[invite497b73ae]

f n'est pas forcément continue sur (0,1)

[invite7ffe9b6a]

une idée (j'ai bien dit une idée je n'est pas réflechie si cela aboutissait ou pas)

On pourra etablir l'existence de y tels que

(f+g)(y)=y

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ffe9b6a]

une idée (j'ai bien dit une idée je n'est pas réflechie si cela aboutissait ou pas)

On pourra etablir l'existence de y tels que

(f+g)(y)=y

hum.... je me suis emballe.

On a des infos sur les ensembles images?

[Thorin]

Pas besoin, j'y suis allé à coup d'epsilon, ça a l'air de marcher.

J'ai fait par l'absurde. Il y a alors une discontinuité de f telle qu'avant la discontinuité, f soit positive, et après la discontinuité, f soit négative. cette discontinuité est de hauteur epsilon.
On peut alors écrire, si on note a l'abscisse de la discontinuité, que pour tout x strictement supérieur à a, mais inférieur à un certain truc sans importance, on a, par croissance de f+g :
(f+g)(a)-(f+g)(x)<0
Et d'autre part, du fait de la discontinuité :
(f+g)(a)-(f+g)(x)>epsilon +g(a)-g(x)

On a alors l'existence d'un epsilon tel que sur un intervalle convenable :
epsilon<g(x)-g(a), ce qui contredit la continuité de g.

Il reste bien sûr tout ça à formaliser...

[Thorin]

Voici une rédaction de ce que je proposais hier soir :

Supposons que f ne s'annule pas.
Alors, par le TVI, il existe un point a en lequel f n'est pas continue à droite et tel que à gauche de la discontinuité f soit positive, et à droite de la discontinuité, f soit négative.
Ce qui donne :

Je me dispense des valeurs absolue car f(a)>0 et f(x)<0, puisque la discontinuité traverse 0.
On a alors, en ajoutant à l'inégalité :


De plus, f+g est croissante, et on a donc en particulier :


Ainsi, en cumulant (1) et (2) :


D'où :


Et comme , il vient :


Ce qui signifie que g n'est pas continue à droite en tout point, d'où une contradiction.

Ainsi, f s'annule.