Coniques[Courbes paramétrées] (sup).

[invite4ca729e3]

Bonsoirs, mesdames, messieurs, je vous interpelé en cette belle soirée car je désespère devant un exercice de niveau math-sup sur les conique, que voici :
Le plan euclidien R² étant rapporté au repère orthonormé (O,i,j), on considère la courbe C de représentation paramétrique :
x=1+cos(T)
y=sin(T)
avec -Pi<T<Pi

1°) Reconnaître la courbe C
- Bon la j'ai reconnue une conique (l'ellipse)
2°) Soit M(T) un point de C de paramètre T.
a) Déterminer l'équation cartésienne de la tangente à (C) en M(T).
b) En déduire la distance du point O à cette droite.
c) Soit P(T) le projeté orthogonal de O sur la tangente en M(T) à C.
Déterminer les coordonnées de P(T).

Voila c'est ici que je l'espère vous pourrez me venir en aide, je sais que le vecteur directeur de la tangente est normalement : v=f'(M(T))i+g'(M(T))j. mais dans ce cas je suis un peu perdu. Si vous pouviez me guider je pourrais poursuivre mon exercice (j'espère ^^).
Ps : ah la la ces exercice en tiroir.
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[invite57a1e779]

x=1+cos(T)
y=sin(T)
avec -Pi<T<Pi

1°) Reconnaître la courbe C
- Bon la j'ai reconnue une conique (l'ellipse)

je sais que le vecteur directeur de la tangente est normalement : v=f'(M(T))i+g'(M(T))j. mais dans ce cas je suis un peu perdu.

Oui, c'est ça, avec et , donc un vecteur directeur de la tangente est .

Au passage, la courbe est une ellipse très particulière, c'est un cercle.

[invite4ca729e3]

D'accord merci mais comment obtenir l'équation de la tangente en un point grace a ce vecteur ?

[invitec317278e]

Par exemple en disant que l'ensemble des points de la tangente en A est l'ensemble des points M tels que det(AM , v)=0, avec AM et v des vecteurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ca729e3]

Je trouve cos(T)x+sin(T)y+sin(T)-1-cos(T)=0 (pour l'équation de la tangente) ... est-ce bien ça ?

[invite4ca729e3]

oups ... cos(T)x+sin(T)y-cos(T)-1=0 plutot (merci bcp j'avais oublié cette histoire de "determinant")

[invitec317278e]

Ca m'a l'air correct.

[invitec317278e]

Sinon, sans passer par le déterminant, on peut passer d'abord par l'équation paramétrée, en disant en complexe qu'un complexe z appartient à la tangente en si et seulement si il existe k dans R tel que avec v le vecteur décrit par God's Breath plus haut.

[invite4ca729e3]

ok ok ... oui je vois pour les complexe mais bon je ne vais pas trop m'y atardé surtout que je ne vois pas comment trouver le k aprés vus qu'on ne connais (normalement) pas z ... enfin bref merci, et sinon pour la distance à O ? Il faut utilisé le projeté orthogonal de O sur la tangente c'est ça ? mais si C est un cercle c'est M(T) le projeté de O sur la tangente non ?