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Représentation du groupe des permutations à 3 éléments



  1. #1
    Kazik

    Représentation du groupe des permutations à 3 éléments


    ------

    Bonsoir,

    dans l'article sur wikipédia traitant des représentations des groupes finis que voici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...un_groupe_fini, je ne saisi pas comment :

    On remarque l'existence de deux espaces stables pour les trois transpositions et donc pour le groupe entier, l'un est engendré par e1 + e2 + e3 et l'autre par les deux vecteurs e1 - e2 et e1 - e3.
    Je remarque en effet que, notant , et , que . Cependant, je ne saisi pas comment on a trouvé de tels vecteurs!
    Avez-vous une idée ? Merci.

    -----

  2. #2
    transam

    Re : Représentation du groupe des permutations à 3 éléments

    Hello
    Pour moi , d'après mes calculs....
    Les valeurs propres associées à M1 sont 1 (double) et -1
    les vecteurs propres u= e2-e3 pour la val propre -1 et v= e1 ; w= e2+e3 pour la valeur propre 1
    Si V1 est le sous-ev engendré par u=e2-e3 et V 2 le sous- ev engendré par (e1 ; e2+e3 ) , l'espace est somme directe de V1 + V2 car u , v , w sont 3 vecteurs libres dans un espace de dimension 3
    Reste à voir si V1 et V2 sont stables par les 2 autres transpositions , sinon chercher les vecteurs propres des 2 autres transpositions et en trouver 3 qui " marchent" pour les 3 applications linéaires .
    D'après ce qui est écrit e1+e2+e3 est la base de V1 et V2 a comme base les 2 vecteurs e1-e2 et e1-e3
    Dans tous les cas c'est la recherche des valeurs propres puis
    Ker( f-kId) où k est valeur propre...qui donnera les sous-ev propres .

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