Groupe des permutations

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai rencontré dans un document le terme de groupe des permutations, mais je ne sais malheureusement pas ce que c'est.

D'après Wikipédia, j'obtiens cette définition :

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même.

Mais malgré cette définition, je reste assez ignorant de cette notion.

Quelqu'un pourrait m'aider ?

Merci d'avance
Phys2
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[Bleyblue]

Salut,

Si tu as un ensemble B, l'ensemble des permutations (applications bijectives B -> B) forme un groupe pour la composition. Ce groupe est le groupe symétrique sur B noté Sym(B)

Un groupe de permutation sur B est simplement un sous-groupe de Sym(B)

EDIT : J'espère que tu sais ce que c'est qu'un groupe sinon mas définition ne te sert à rien

[inviteaf1870ed]

Le groupe des permutations d'un ensemble c'est par exemple pour un groupe {a,b,c} l'ensemble des permutations {b,c,a}, {c,b,a},{a,c,b},{b,a,c},{c,a,b }.
Pour un groupe de n éléments, le groupe des permutations en comprend n!

[invite986312212]

permutation est un synonyme de bijection, qu'on emploie plutôt dans le cas fini ou dénombrable.
Par ailleurs, on peut montrer que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un certain groupe de permutations, donc en toute rigueur "groupe de permutations" est un synonyme de "groupe".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Le groupe des permutations d'un ensemble c'est par exemple pour un groupe {a,b,c} l'ensemble des permutations {b,c,a}, {c,b,a},{a,c,b},{b,a,c},{c,a,b }.
Pour un groupe de n éléments, le groupe des permutations en comprend n!

Comme 3!=6, serait utile de mettre les six...

{a,b,c}, {b,c,a}, {c,b,a}, {a,c,b}, {b,a,c}, {c,a,b}

avec {x, y, z} notant la bijection a->x, b->y et c->z.

Cordialement,

[inviteaf1870ed]

Comme 3!=6, serait utile de mettre les six...

{a,b,c}, {b,c,a}, {c,b,a}, {a,c,b}, {b,a,c}, {c,a,b}

avec {x, y, z} notant la bijection a->x, b->y et c->z.

Cordialement,

J'avais mis les 6 : {a,b,c} était mentionné. Je suis rouillé, mais je sais encore compter jusque 6 !

[invite4793db90]

Salut,

le premier paragraphe de cette news donne une approche avec les mains de la notion.

Ce groupe est le groupe symétrique sur B noté Sym(B)

Ah ? Je ne connaissais pas cette notation : en général c'est noté avec le S en gothique si possible. Par ailleurs, la notation désigne souvent la n-ème puissance symétrique d'un espace vectoriel V.

M'enfin le principal c'est qu'on se comprenne.

Cordialement.

[invité576543]

J'avais mis les 6 : {a,b,c} était mentionné. Je suis rouillé, mais je sais encore compter jusque 6 !

Relis ton texte, il n'y en a que 5. {a, b, c} se comprend comme la donnée des éléments de l'ensemble, pas comme une permutation...

Cdlt,

[invite4793db90]

{a, b, c} se comprend comme la donnée des éléments de l'ensemble,pas comme une permutation...

Ben si : c'est la permutation "identité", qui ne permute rien...

Cordialement.

[invite4793db90]

Sinon, les permutations s'écrivent en général en prenant pour ensemble et en indiquant en dessous de chaque élément son image.

Par exemple, le groupe compte les six permutations suivantes :

(identité)











Cordialement.

[invité576543]

Ben si : c'est la permutation "identité", qui ne permute rien...

Je parlais dans le contexte de la phrase de Ericc! Mais ca n'a pas grande importance. Ta liste est plus claire, de toute manière. Je suis juste étonné de la réaction de Ericc à mon message...

Cordialement,

[inviteaf1870ed]

Je parlais dans le contexte de la phrase de Ericc! Mais ca n'a pas grande importance. Ta liste est plus calire, de toute manière. Je suis juste étonné de la réaction de Ericc à mon message...

Cordialement,

OK no hard feelings

[Bleyblue]

Salut,
Ah ? Je ne connaissais pas cette notation : en général c'est noté avec le S en gothique si possible. Par ailleurs, la notation désigne souvent la n-ème puissance symétrique d'un espace vectoriel V.

C'est peut-être bien une notation typiquement belge (en tout cas je ne l'ai pas inventé car c'est dans mon cours de géométrie )

[Seirios]

Je pense avoir compris, merci à tous !

[invite9c9b9968]

Au passage, toute permutation est un produit de cycles¹ deux à deux disjoints, eux même produits de transpositions²

Amusez vous à identifier ces décompositions dans l'exemple de ce fil, et au passage vous verrez pourquoi la notation de martini est si pratique



_________________
1 : un cycle [a,b,c,...,p,q] est tel que l'image de a est b, l'image de b est c, etc..., l'image de p est q et l'image de q est a, tout autre éléments de l'ensemble qui ne soit pas dans l'écriture du cycle étant laissé invariant
2 : une transposition est un 2-cycle, ie un cycle de la forme [a,b], dit autrement une permutation où seuls deux éléments de l'ensemble considérés permutent entre eux