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Groupe des permutations



  1. #1
    Seirios

    Groupe des permutations


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai rencontré dans un document le terme de groupe des permutations, mais je ne sais malheureusement pas ce que c'est.

    D'après Wikipédia, j'obtiens cette définition :

    Citation Envoyé par Wikipédia
    En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même.
    Mais malgré cette définition, je reste assez ignorant de cette notion.

    Quelqu'un pourrait m'aider ?

    Merci d'avance
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  3. #2
    Bleyblue

    Re : Groupe des permutations

    Salut,

    Si tu as un ensemble B, l'ensemble des permutations (applications bijectives B -> B) forme un groupe pour la composition. Ce groupe est le groupe symétrique sur B noté Sym(B)

    Un groupe de permutation sur B est simplement un sous-groupe de Sym(B)

    EDIT : J'espère que tu sais ce que c'est qu'un groupe sinon mas définition ne te sert à rien

  4. #3
    ericcc

    Re : Groupe des permutations

    Le groupe des permutations d'un ensemble c'est par exemple pour un groupe {a,b,c} l'ensemble des permutations {b,c,a}, {c,b,a},{a,c,b},{b,a,c},{c,a,b }.
    Pour un groupe de n éléments, le groupe des permutations en comprend n!

  5. #4
    invite986312212
    Invité

    Re : Groupe des permutations

    permutation est un synonyme de bijection, qu'on emploie plutôt dans le cas fini ou dénombrable.
    Par ailleurs, on peut montrer que tout groupe est isomorphe à un sous-groupe d'un certain groupe de permutations, donc en toute rigueur "groupe de permutations" est un synonyme de "groupe".

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invité576543
    Invité

    Re : Groupe des permutations

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Le groupe des permutations d'un ensemble c'est par exemple pour un groupe {a,b,c} l'ensemble des permutations {b,c,a}, {c,b,a},{a,c,b},{b,a,c},{c,a,b }.
    Pour un groupe de n éléments, le groupe des permutations en comprend n!
    Comme 3!=6, serait utile de mettre les six...

    {a,b,c}, {b,c,a}, {c,b,a}, {a,c,b}, {b,a,c}, {c,a,b}

    avec {x, y, z} notant la bijection a->x, b->y et c->z.

    Cordialement,

  8. #6
    ericcc

    Re : Groupe des permutations

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Comme 3!=6, serait utile de mettre les six...

    {a,b,c}, {b,c,a}, {c,b,a}, {a,c,b}, {b,a,c}, {c,a,b}

    avec {x, y, z} notant la bijection a->x, b->y et c->z.

    Cordialement,
    J'avais mis les 6 : {a,b,c} était mentionné. Je suis rouillé, mais je sais encore compter jusque 6 !

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  10. #7
    martini_bird

    Re : Groupe des permutations

    Salut,

    le premier paragraphe de cette news donne une approche avec les mains de la notion.

    Ce groupe est le groupe symétrique sur B noté Sym(B)
    Ah ? Je ne connaissais pas cette notation : en général c'est noté avec le S en gothique si possible. Par ailleurs, la notation désigne souvent la n-ème puissance symétrique d'un espace vectoriel V.

    M'enfin le principal c'est qu'on se comprenne.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  11. #8
    invité576543
    Invité

    Re : Groupe des permutations

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    J'avais mis les 6 : {a,b,c} était mentionné. Je suis rouillé, mais je sais encore compter jusque 6 !
    Relis ton texte, il n'y en a que 5. {a, b, c} se comprend comme la donnée des éléments de l'ensemble, pas comme une permutation...

    Cdlt,

  12. #9
    martini_bird

    Re : Groupe des permutations

    {a, b, c} se comprend comme la donnée des éléments de l'ensemble,pas comme une permutation...
    Ben si : c'est la permutation "identité", qui ne permute rien...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  13. #10
    martini_bird

    Re : Groupe des permutations

    Sinon, les permutations s'écrivent en général en prenant pour ensemble et en indiquant en dessous de chaque élément son image.

    Par exemple, le groupe compte les six permutations suivantes :

    (identité)











    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  14. #11
    invité576543
    Invité

    Re : Groupe des permutations

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Ben si : c'est la permutation "identité", qui ne permute rien...
    Je parlais dans le contexte de la phrase de Ericc! Mais ca n'a pas grande importance. Ta liste est plus claire, de toute manière. Je suis juste étonné de la réaction de Ericc à mon message...

    Cordialement,
    Dernière modification par Gwyddon ; 15/02/2007 à 18h24. Motif: calire, je ne connais pas, en revanche clair si :)

  15. #12
    ericcc

    Re : Groupe des permutations

    Citation Envoyé par mmy Voir le message
    Je parlais dans le contexte de la phrase de Ericc! Mais ca n'a pas grande importance. Ta liste est plus calire, de toute manière. Je suis juste étonné de la réaction de Ericc à mon message...

    Cordialement,
    OK no hard feelings


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  17. #13
    Bleyblue

    Re : Groupe des permutations

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,
    Ah ? Je ne connaissais pas cette notation : en général c'est noté avec le S en gothique si possible. Par ailleurs, la notation désigne souvent la n-ème puissance symétrique d'un espace vectoriel V.
    C'est peut-être bien une notation typiquement belge (en tout cas je ne l'ai pas inventé car c'est dans mon cours de géométrie )

  18. #14
    Seirios

    Re : Groupe des permutations

    Je pense avoir compris, merci à tous !
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  19. #15
    Gwyddon

    Re : Groupe des permutations

    Au passage, toute permutation est un produit de cycles1 deux à deux disjoints, eux même produits de transpositions2

    Amusez vous à identifier ces décompositions dans l'exemple de ce fil, et au passage vous verrez pourquoi la notation de martini est si pratique



    _________________
    1 : un cycle [a,b,c,...,p,q] est tel que l'image de a est b, l'image de b est c, etc..., l'image de p est q et l'image de q est a, tout autre éléments de l'ensemble qui ne soit pas dans l'écriture du cycle étant laissé invariant
    2 : une transposition est un 2-cycle, ie un cycle de la forme [a,b], dit autrement une permutation où seuls deux éléments de l'ensemble considérés permutent entre eux
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

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