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demonstration de groupe des elements inversibles d'un anneau



  1. #1
    invite77420056

    demonstration de groupe des elements inversibles d'un anneau


    ------

    bonjour à tous .le theoreme du cours dit que l'ensemble des elements inversibles d'un anneau est un groupe multiplicatif.et voici le debut de la demonstration : soit A un anneau et G l'ensemble de ses elements inversibles.G est stable par x cad pour tout x et y appartient à G2 (xy)(y^-1x^-1)=(y^-1x^-1)(xy)=1A.d'ou xy est inversible et (xy)^-1=y^-1x^-1 d'ou xy appartient à G.ce que je ne comprends pas c 'est pourquoi on doit marquer (xy)(y^-1x^-1) et pas (xy)(x^-1y^-1).merci d'avance pour vos reponses.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invite986312212
    Invité

    Re : demonstration de groupe des elements inversibles d'un anneau

    salut,

    sur ton anneau la multiplication n'est pas nécessairement commutative. Le fait que y^-1x^-1 soit l'inverse de xy découle de l'associativité (remanier les parenthèses) mais tu verras qu'il faut que les facteurs soient dans cet ordre.

  4. #3
    Ledescat

    Re : demonstration de groupe des elements inversibles d'un anneau

    Salut,

    Car a priori ton anneau n'est pas commutatif.

    Et (xy)(x^-1 y^-1) =x (yx^-1) y^-1 (associativité) n'a aucune raison de valoir 1.

    Alors que: (xy)(y^-1x^-1)=x (yy^-1)x^-1=x.1.x^-1=xx^-1=1

    cdlt

    edit: grillé
    Cogito ergo sum.

  5. #4
    invite77420056

    Re : demonstration de groupe des elements inversibles d'un anneau

    mai pourquoi (xy)(x^-1y^-1)=x(yx^-1)y-1 la je ne comprend peux tu detailler le calcule sil te plait.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    invite77420056

    Re : demonstration de groupe des elements inversibles d'un anneau

    excusez moi en fait je vien de comprendre ce qu'a dit ledescat c bon

  8. #6
    invite77420056

    Re : demonstration de groupe des elements inversibles d'un anneau

    maintenant par contre ce que je comprend pas c 'est pourquoi (xy)^-1=y^-1x^-1.

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  10. #7
    Ledescat

    Re : demonstration de groupe des elements inversibles d'un anneau

    Citation Envoyé par jonh35 Voir le message
    maintenant par contre ce que je comprend pas c 'est pourquoi (xy)^-1=y^-1x^-1.
    (xy^)^-1 est le seul élément a vérifiant (xy)a=1
    Or, a=(y^-1x^-1) vérifie bien (xy)a=1, donc on peut le noter (xy)^-1.
    Cogito ergo sum.

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