demonstration de groupe des elements inversibles d'un anneau

[invite69d45bb4]

bonjour à tous .le theoreme du cours dit que l'ensemble des elements inversibles d'un anneau est un groupe multiplicatif.et voici le debut de la demonstration : soit A un anneau et G l'ensemble de ses elements inversibles.G est stable par x cad pour tout x et y appartient à G2 (xy)(y^-1x^-1)=(y^-1x^-1)(xy)=1A.d'ou xy est inversible et (xy)^-1=y^-1x^-1 d'ou xy appartient à G.ce que je ne comprends pas c 'est pourquoi on doit marquer (xy)(y^-1x^-1) et pas (xy)(x^-1y^-1).merci d'avance pour vos reponses.
-----

[invite986312212]

salut,

sur ton anneau la multiplication n'est pas nécessairement commutative. Le fait que y^-1x^-1 soit l'inverse de xy découle de l'associativité (remanier les parenthèses) mais tu verras qu'il faut que les facteurs soient dans cet ordre.

[invitec053041c]

Salut,

Car a priori ton anneau n'est pas commutatif.

Et (xy)(x^-1 y^-1) =x (yx^-1) y^-1 (associativité) n'a aucune raison de valoir 1.

Alors que: (xy)(y^-1x^-1)=x (yy^-1)x^-1=x.1.x^-1=xx^-1=1

cdlt

edit: grillé

[invite69d45bb4]

mai pourquoi (xy)(x^-1y^-1)=x(yx^-1)y-1 la je ne comprend peux tu detailler le calcule sil te plait.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite69d45bb4]

excusez moi en fait je vien de comprendre ce qu'a dit ledescat c bon

[invite69d45bb4]

maintenant par contre ce que je comprend pas c 'est pourquoi (xy)^-1=y^-1x^-1.

[invitec053041c]

maintenant par contre ce que je comprend pas c 'est pourquoi (xy)^-1=y^-1x^-1.

(xy^)^-1 est le seul élément a vérifiant (xy)a=1
Or, a=(y^-1x^-1) vérifie bien (xy)a=1, donc on peut le noter (xy)^-1.