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Eléments d'un groupe cyclique



  1. #1
    Gpadide

    Eléments d'un groupe cyclique

    Bonjour, voici une assertion de ma prof que je ne comprends pas :
    G est un groupe cyclique d'ordre n, de générateur g
    H est un sous groupe cyclique de G, disctinct de G
    Soit m le plus plus petit entier k tel que g^k appartienne a H. Alors :
    "G different de H => m et n ne sont pas premiers entre eux"
    Je ne comprends pas cette affirmation entre guillemets.
    Merci d'avance pour vos explications.

    -----


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  3. #2
    martini_bird

    Re : Elements d'un groupe cyclique

    Salut,

    est en effet redondant avec l'hypothèse H distinct de G.

    A mon avis, la phrase signifie juste que l'ordre d'un sous-groupe H d'un groupe cyclique G divise n.

    Cordialement.

  4. #3
    Gpadide

    Re : Elements d'un groupe cyclique

    Citation Envoyé par martini_bird Voir le message
    Salut,

    est en effet redondant avec l'hypothèse H distinct de G.

    A mon avis, la phrase signifie juste que l'ordre d'un sous-groupe H d'un groupe cyclique G divise n.

    Cordialement.
    C'est ce que je pensais mais la m n'est pas l'ordre de H mais la plus petite puissance k telle que g^k appartienne a H.
    Par ailleurs tu sembles faire reference au theoreme de lagrange, dont je ne comprends pas la demonstration sur wikipedia ):

  5. #4
    tize

    Re : Elements d'un groupe cyclique

    Dans un groupe cyclique d'ordre n généré par g, n est le plus petit entier tq g^n=1 (on peut aussi regarder G comme Z/nZ...). Il est assez facile de montrer que k est premier avec n si et seulement si g^k est un générateur de G (avec bézout je crois).
    Pour conclure si m et n sont premiers entre eux alors g^m est dans H par défintion mais génère aussi G donc G=H !! contradiction
    En espérant ne pas avoir dit trop de bêtises...Cordialement José

  6. #5
    Gpadide

    Re : Elements d'un groupe cyclique

    Citation Envoyé par tize Voir le message
    Il est assez facile de montrer que k est premier avec n si et seulement si g^k est un générateur de G (avec bézout je crois).
    Quelqu'un pourrait il détailler cette démonstration svp ? J'arrive pas a le retrouver, pourtant je sais que G groupe cyclique d'ordre n est isomorphe a Z/nZ...
    Dernière modification par Gwyddon ; 19/11/2006 à 16h20. Motif: balise quote

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Gpadide

    Re : Elements d'un groupe cyclique

    Ou alors me filer une adresse ?

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  10. #7
    rvz

    Re : Elements d'un groupe cyclique

    Salut,

    Si n est premier à k, par Bezout il existe a et b tels que
    a n + bk =1.
    Si g^k est dans ton sous groupe H (notamment si c'en est le générateur), alors (g^k)^b = g* g^{-an} aussi
    Or g^n =e car G est de cardinal n. Donc (g^k)^b =g est dans H. Or g engendre G . Donc H =G.

    __
    rvz

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