Bonjour, voici une assertion de ma prof que je ne comprends pas :
G est un groupe cyclique d'ordre n, de générateur g
H est un sous groupe cyclique de G, disctinct de G
Soit m le plus plus petit entier k tel que g^k appartienne a H. Alors :
"G different de H => m et n ne sont pas premiers entre eux"
Je ne comprends pas cette affirmation entre guillemets.
Merci d'avance pour vos explications.
Salut,
est en effet redondant avec l'hypothèse H distinct de G.
A mon avis, la phrase signifie juste que l'ordre d'un sous-groupe H d'un groupe cyclique G divise n.
Cordialement.
C'est ce que je pensais mais la m n'est pas l'ordre de H mais la plus petite puissance k telle que g^k appartienne a H.Envoyé par martini_bird
Salut,
A mon avis, la phrase signifie juste que l'ordre d'un sous-groupe H d'un groupe cyclique G divise n.
Cordialement.
Par ailleurs tu sembles faire reference au theoreme de lagrange, dont je ne comprends pas la demonstration sur wikipedia ):
Dans un groupe cyclique d'ordre n généré par g, n est le plus petit entier tq g^n=1 (on peut aussi regarder G comme Z/nZ...). Il est assez facile de montrer que k est premier avec n si et seulement si g^k est un générateur de G (avec bézout je crois).
Pour conclure si m et n sont premiers entre eux alors g^m est dans H par défintion mais génère aussi G donc G=H !! contradiction
Quelqu'un pourrait il détailler cette démonstration svp ? J'arrive pas a le retrouver, pourtant je sais que G groupe cyclique d'ordre n est isomorphe a Z/nZ...
Ou alors me filer une adresse ?
Salut,
Si n est premier à k, par Bezout il existe a et b tels que
a n + bk =1.
Si g^k est dans ton sous groupe H (notamment si c'en est le générateur), alors (g^k)^b = g* g^{-an} aussi
Or g^n =e car G est de cardinal n. Donc (g^k)^b =g est dans H. Or g engendre G . Donc H =G.
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rvz
