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Groupe Cyclique



  1. #1
    Erythro73

    Groupe Cyclique


    ------

    Bonjour tous!
    Je suis présentement dans une interrogation: qu'est-ce qu'un groupe cyclique?!? J'ai étudié les groupes,sous-groupes, corps, anneaux, etc. Mais je galère à comprendre ce que veut bien dire un groupe cyclique.

    J'ai la définition suivante: "Un groupe G est dit cyclique si G est engendré par l'un de ses éléments a E G, c'est à dire G={a^n, n E Z}"

    Donc, d'après mes souvenirs, le groupe G=(Z4, +) est cyclique.

    Donc, je dois trouver parmi les 0,1,2,3 qui constitue mon ensemble un nombre tels qu'élevé au carré, il donnerait tous les autres éléments?

    1^à n'importe quoi donne toujours 1.
    2^1=2 2^2=0 2^3=0 2^4=0....
    3^1=3 3^2= 1 3^3=3 3^4=1

    Bref, je ne trouve pas de a tel que élevé à un nombre n engendre l'espace des Z4



    Erythro73

    P.S. Je ne sais pas si j'ai bien posté dans la bonne section, je ne suis pas issu du système français...

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Groupe Cyclique

    Bonjour,

    Si le groupe est noté additivement (l'opération est notée +), il faut changer la notation de puissance par une multiplication.

    Cela devient:

    "Un groupe G est dit cyclique si G est engendré par l'un de ses éléments a E G, c'est à dire G={n*a, n E Z}"

    Un générateur de Z/4Z en tant que groupe additif est 1: 1*1, 2*1, 3*1, 4*1. Il est bien cyclique!

    (Il y a exactement deux générateurs, 1 et 3...)

    Cordialement,

  4. #3
    Erythro73

    Re : Groupe Cyclique

    Citation Envoyé par mmy
    Bonjour,

    Si le groupe est noté additivement (l'opération est notée +), il faut changer la notation de puissance par une multiplication.

    Cela devient:

    "Un groupe G est dit cyclique si G est engendré par l'un de ses éléments a E G, c'est à dire G={n*a, n E Z}"

    Un générateur de Z/4Z en tant que groupe additif est 1: 1*1, 2*1, 3*1, 4*1. Il est bien cyclique!

    (Il y a exactement deux générateurs, 1 et 3...)

    Cordialement,
    Mais, comment savoir qu'il faut changer l'opération puissance par la multiplication?

    Désolé, j'ai pas vraiment beaucoup de notions sur le sujet sinon la définition que j'ai donné plus haut et un exercice à résoudre...

    Merci beaucoup, soit dit en passant .

  5. #4
    invité576543
    Invité

    Re : Groupe Cyclique

    Citation Envoyé par Erythro73
    Mais, comment savoir qu'il faut changer l'opération puissance par la multiplication?

    Désolé, j'ai pas vraiment beaucoup de notions sur le sujet sinon la définition que j'ai donné plus haut et un exercice à résoudre...

    Merci beaucoup, soit dit en passant .

    C'est juste une question de notation et de convention. Si on note + l'opération du groupe, alors on note 3*a le résultat de a+a+a. Si on note multiplicativement l'opération du groupe, on note a3 le résultat de a*a*a. L'élément nul est noté 0 en additif, 1 en multiplicatif.

    L'usage est de noter multiplicativement un groupe générique (par exemple dans les théorèmes généraux sur les groupes). La notation additive est utilisée principalement pour les groupes dérivés des nombres et de l'addition telle que définie usuellement sur les nombres. Cela inclut les Z/nZ muni de l'addition. (Notons que Z*/pZ, p premier, muni de la multiplication, est aussi un groupe; la notation permet d'indiquer directement de quoi on parle!)

    C'est plus culturel que des maths profondes! Donc, juste une question d'habitude...

    Cordialement,

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Erythro73

    Re : Groupe Cyclique

    Citation Envoyé par mmy
    C'est juste une question de notation et de convention. Si on note + l'opération du groupe, alors on note 3*a le résultat de a+a+a. Si on note multiplicativement l'opération du groupe, on note a3 le résultat de a*a*a. L'élément nul est noté 0 en additif, 1 en multiplicatif.

    L'usage est de noter multiplicativement un groupe générique (par exemple dans les théorèmes généraux sur les groupes). La notation additive est utilisée principalement pour les groupes dérivés des nombres et de l'addition telle que définie usuellement sur les nombres. Cela inclut les Z/nZ muni de l'addition. (Notons que Z*/pZ, p premier, muni de la multiplication, est aussi un groupe; la notation permet d'indiquer directement de quoi on parle!)

    C'est plus culturel que des maths profondes! Donc, juste une question d'habitude...

    Cordialement,
    Je te remercie beaucoup! Tout est clair maintenant . Je le voyais tout simplement pas comme ça, maintenant tout est évident .

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