Transformation d'integrale

[invite4ef352d8]

Bonsoir !

j'essayais de retrouver quelque resultat sur la periode d'un pendul (c'est a dire du calcule d'integral assez... sympatique^^ ), et il me manque un resultat intermediaire :



(qui est juste) mais je n'ai pas la moindre idee de comment proceder pour l'obtenir (je ne voi vraiment pas comment on peut transformer les bornes ce cette facon en fait, l'une a des bornes "mobile" l'autre des bornes fixe et ce n'est vraisemblablement pas un changement de variable qui donne ce resultat, ou alors je voi vraiment pas lequel)

quelqu'un aurait-il une idee, une piste ou une methode pour essayer d'obtenir ce resultat ?

Merci!
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[invite19415392]

Edit : au temps pour moi.

[invite19415392]

Un conseil, comme ça, à vue de nez, pour ce genre d'intégrale mystère à borne flottante passant à borne fixe :
J'appelle I0 l'intégrale "de départ".
Fais les transformations qui s'imposent (ici la forme A²-B² = (A+B)(A-B), puis les transfos trigonométriques). Tu devrais pouvoir réduire à quelque chose ressemblant beaucoup au membre de droite de l'égalité voulue, bornes exceptées. Ça t'amène à une intégrale I1 (bornes [0,a]).
Tu peux tenter la transfo X = Pi/2-x, ce qui devrait t'amener à une autre intégrale I2 allant de Pi/2-a à Pi/2, mais avec typiquement la même intégrande. En notant l'égalité entre les deux intégrales, tu peux dire que I0 = I1/2 + I2/2, et zou ça te mène à une intégrale à borne fixe.
Maintenant, c'est que du "à vue de nez", hein !